Unkorreliertheit, Unabhkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Di 16.09.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien [mm] (\Omega, 2^{\Omega}, [/mm] P) ein diskreter W-Raum und X: [mm] \Omega [/mm] --> {0,1,...,10} laplaceverteilt. Des Weiteren sei [mm] Y=25-(X-5)^2.
[/mm]
Überprüfe die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und Unabhängigkeit. |
Hallo!
Also zu berechnen ist E(X), E(Y) und E(XY).
Es ist ja [mm] E(X)=\bruch{n}{2} [/mm] = 5
[mm] E(Y)=E(-X^2+10X)= -E(X^2)+10E(X)= -E(X^2)+50 [/mm] =15
und [mm] E(X^2)=VarX+E(X)^2=10+25=35
[/mm]
wobei ´Var(X)=n(n+2)/12 = 10.
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Di 16.09.2014 | | Autor: | luis52 |
>
> Stimmt das soweit?
>
Ich kann keinen Fehler entdecken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 16.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Das ist ja schon mal gut 
Mit E(XY) hab ich allerdings Probleme...
Es ist ja [mm] E(XY)=-E(X^3)+10E(X^2)
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt [mm] E(X^3) [/mm] bestimmen?
Oder geht das auch anders?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 16.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Hier liegt aber doch ein diskreter und kein stetiger W-Raum vor...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Di 16.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das kommt doch auf eure Definition an! Ich schätze, dass es hier
auf folgendes hinauslaufen wird:
[mm] E(X^3)=\sum x^3*\IP(X=x).
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mi 17.09.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] E(k^3)= \bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] n^2(n+1)/4
[/mm]
Das wäre aber für n=10 2525, ich glaube nicht dass das Sinn macht...
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Hallo,
> [mm]E(\red{k}^3)= \bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm]n^2(n+1)/4[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $E\left[\red X^3\right]$
[/mm]
>
> Das wäre aber für n=10 2525 , ich glaube nicht dass das
> Sinn macht...
Warum nicht?
Die Rechnung sieht richtig aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mi 17.09.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E(k^3)= \bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm]n^2(n+1)/4[/mm]
>
> Das wäre aber für n=10 2525, ich glaube nicht dass das
> Sinn macht...
In der Tat, das Ergebnis ist 275.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 17.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Und wo ist mein Fehler? Bzw. wie kommst du auf deine loesung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 17.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Und wo ist mein Fehler?
Es gilt:
[mm] \frac{10^2(10+1)}{4}=\frac{1100}{4}=275.
[/mm]
> Bzw. wie kommst du auf deine loesung?
Luis hat dir vorgeschlagen, die Verteilung von [mm] $X*Y\$ [/mm] zu betrachten.
Sein Vorschlag ist übrigens meiner Meinung nach auch eleganter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 17.09.2014 | | Autor: | luis52 |
> Und wo ist mein Fehler? Bzw. wie kommst du auf deine
> loesung?
*Ich* rechne so [mm] $10^2\cdot(10+1)/4=275$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 17.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke!
Also sind X und Y unkorreliert, da E(X)*E(Y)-E(XY)=0.
Wie kann ich nun noch die Unabhängigkeit überprüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 17.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also sind X und Y unkorreliert, da E(X)*E(Y)-E(XY)=0.
Richtig. Das nächste Mal bitte zitieren, sodass man nicht immer
wieder hin und her muss um das zu kontrollieren.
> Wie kann ich nun noch die Unabhängigkeit überprüfen?
Wieso guckst du nicht wenigstens in dein Skript? Das ist nun das
zweite Mal, dass ich raten muss und das will ich nicht, aber ich
gehe von einem Satz aus, der unmittelbar nach eurer Definition
stehen sollte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 17.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Meistens ist es bei diesen Aufgaben ja so, dass die beiden ZV unkorreliert aber nicht unabhängig sind. Deshalb versuche ich ein Gegenbeispiel zur Unabhängigkeit zu finden.... Bisher bin ich aber nicht fündig geworden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 18.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Habt ihr eine Idee?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 18.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Würde es z.b. so gehen: P (X=0) * P (Y=1) ist ungleich P (X=0 [mm] \cap [/mm] Y=1) = [mm] \emptyset
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 18.09.2014 | | Autor: | luis52 |
> Würde es z.b. so gehen: P (X=0) * P (Y=1) ist ungleich P
> (X=0 [mm]\cap[/mm] Y=1) = [mm]\emptyset[/mm]
Nein, weil
$P [mm] ((X=0)\cap(Y [/mm] =1)) = [mm] \red{P}(\emptyset)=0$ [/mm] und $P(Y=1)=0$.
Warum ignorierst du meinen Vorschlag?
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Fr 19.09.2014 | | Autor: | rollroll |
P(X=0) = 1/11
Aber wie bestimme ich P(Y=0)
Y nimmt ja den wert 0 für x=0 und X=10 an.
Und P( X=0 [mm] \cap [/mm] Y=0) = 1/11 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 18.09.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, sind $(Y=0)$ und $(X=0)$ unabhaengig?
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Hi,
ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":
[mm] $(100)\cdot{}(101)/4$ [/mm] ...
Also statt mit $10+1$ mit [mm] $10^2+1$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mi 17.09.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":
>
> [mm](100)\cdot{}(101)/4[/mm] ...
>
> Also statt mit [mm]10+1[/mm] mit [mm]10^2+1[/mm] ...
Ts, ts, ts ...
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Moinsen,
> > Hi,
> >
> > ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":
> >
> > [mm](100)\cdot{}(101)/4[/mm] ...
> >
> > Also statt mit [mm]10+1[/mm] mit [mm]10^2+1[/mm] ...
>
>
> Ts, ts, ts ...
Es sind ja genügend "Wachhunde" hier
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 16.09.2014 | | Autor: | luis52 |
> Oder geht das auch anders?
Durchaus. Berechne die Verteilung von [mm] $X\cdot [/mm] Y$.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
https://de.wikipedia.org/wiki/Moment_%28Stochastik%29#Darstellung_f.C3.BCr_reelle_Zufallsvariable