Unstetige f,g => gof unstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 21.04.2008 | | Autor: | muy |
| Aufgabe | Gegeben seien reelle Funktionen f,g und es gelte [mm] x_{0} \in [/mm] D(f), [mm] f(x_{0}) \in [/mm] D(g). Beweisen oder widerlegen Sie:
Ist f in [mm] x_{0} [/mm] unstetig und ist g in [mm] f(x_{0}) [/mm] unstetig, so ist g [mm] \circ [/mm] f in [mm] x_{0} [/mm] unstetig. |
Habe ein Problem ein passendes Gegenbeispiel zu finden.
Ich vermute, dass die Aussage so nicht gilt, so wie die Aussage nicht galt für:
"Sind f und g an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] unstetig, so ist auch f+g an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] unstetig."
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ -1, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
Unstetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] g(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
Unstetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] (f+g)(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
Stetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0
Sowas ähnliches muss ich nun für (g [mm] \circ [/mm] f)(x) basteln aber mir fällt einfach nichts ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 21.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Torben,
Ja, da gibt es tatsächlich Gegenbeispiele: Betrachte z.B. eine unstetige, selbst-inverse Funktion, d.h. [mm](f\circ f)(x) = x\ \forall x \in \IR[/mm]. So eine würde offensichtlich genügen! Kennst du eine 'einfache' Funktion, die auf sich selbst angewendet die Identität ergibt?
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Di 22.04.2008 | | Autor: | muy |
Okay, korrigiere mich bitte, wenn ich was unmathematisch schreib.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x}: [/mm] f(0) = 0 ist unstetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0, da die Funktion gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] strebt, je nachdem von welcher Seite man sich der 0 nähert.
Und [mm] (f)(\bruch{1}{x}) [/mm] = x.
Was für ein g(x) nehm ich denn jetzt für das gilt, dass [mm] g(f(x_{0})), [/mm] sprich g(0), unstetig und (g [mm] \circ [/mm] f)(x) stetig ist?
Oder kann ich einfach g(x) = f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] definieren?
Dann hätte ich...mh...
[mm] (g\circ f)(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] = 0 und
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}}(g \circ [/mm] f)(x) = [mm] x_{0} [/mm] = 0
Und damit wäre die Behauptung widerlegt?
Wenn es falsch ist, bin ich aber wenigstens auf der richtigen Spur, richtig?
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Aloha hé,
also, so wie ich das aktuell blicke, würde das passen. Wenn [tex] g(x) [/tex] ebenfalls unstetig im gleichen Punkt [tex] x_{0} [/tex] sein soll, dann bietet es sich an, [mm] f(x) = g(x) = \bruch{1}{x} [/mm] zu verwenden.
Offenbar erfüllt das auch gerade die Bedingungen für die Komposition. Wie ich finde eine recht nette Aufgabe.
Wirklich "unmathematisch" hast du es auch nicht geschrieben. Für nen Übungszettel solltest du das ganze aber nochmal sauber aufschreiben. (Manchma ergeben sich ja beim Aufschreibe-Prozess nochmal tiefschürfende Einsichten - so ist es zumindest bei mir immer).
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterhuscht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Oder kann ich einfach g(x) = f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> definieren?
Naja, dann hast du Funktionen [mm] $\IR \setminus \{ 0 \} \to \IR \setminus \{ 0 \}$, [/mm] die stetig sind. Du musst schon die 0 irgendwie in's Spiel bringen, etwa indem du $f(x) := g(x) := 0$ definierst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 26.04.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0 \\ 0, & \mbox{für } x<0\end{cases} [/mm] ist an der Stelle x=0 nicht stetig.
Die Funktion g(x)=1-f(x) ist dort dann ebenfalls unstetig.
Die additive Verknüpfung f(x)+g(x) ist allerdings konstant 1 und damit stetig.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Abakus,
> die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge0 \\ 0, & \mbox{für } x<0\end{cases}[/mm]
> ist an der Stelle x=0 nicht stetig.
> Die Funktion g(x)=1-f(x) ist dort dann ebenfalls
> unstetig.
> Die additive Verknüpfung f(x)+g(x) ist allerdings konstant
> 1 und damit stetig.
das stimmt. Funktioniert auch ganz allgemein: ist $f$ unstetig in [mm] $x_0$ [/mm] und $h$ stetig in [mm] $x_0$, [/mm] so setze $g := h - f$; dann sind $f$ und $h$ unstetig in [mm] $x_0$ [/mm] und $f + g = h$ ist es nicht...
In diesem Thread geht's aber um's Verketten und nicht um's Addieren...
LG Felix
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