Unstetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass die Funktion in 0 unstetig ist. |
Hallo,
wenn man Unstetigkeit in einem Punkt zeigen will, dann kann man eine bestimmte Teilfolge [mm] (x_n) [/mm] finden die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert aber [mm] f(x_0) \not= f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n) [/mm] ist und damit argumentieren
oder man betrachtet den rechts- und linksseitigen Limes der Funktion in diesem Punkt.
Meine Lösung mit dem Limes wäre:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] hat keinen Grenzwert, also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x) \not= [/mm] 0 [mm] \not= \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f(x)
und daraus folgt, dass f in 0 unstetig ist.
Ist das richtig argumentiert?
Wie kann man die Aufgabe mit Hilfe von Teilfolgen lösen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass die Funktion in 0 unstetig ist.
> Hallo,
>
> wenn man Unstetigkeit in einem Punkt zeigen will, dann kann
> man eine bestimmte Teilfolge [mm](x_n)[/mm] finden die gegen [mm]x_0[/mm]
> konvergiert aber [mm]f(x_0) \not= f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)[/mm]
> ist und damit argumentieren
> oder man betrachtet den rechts- und linksseitigen Limes
> der Funktion in diesem Punkt.
>
> Meine Lösung mit dem Limes wäre:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f(x)[/mm] hat keinen Grenzwert, also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+}f(x) \not=[/mm] 0 [mm]\not= \limes_{x\rightarrow\0-}[/mm]
> und daraus folgt, dass f in 0 unstetig ist.
> Ist das richtig argumentiert?
Nein. Da oben steht nichts brauchbares.
Finde eine Nullfolge [mm] (x_n), [/mm] so dass [mm] (f(x_n)) [/mm] keine Nullfolge ist
Fred
>
> Wie kann man die Aufgabe mit Hilfe von Teilfolgen lösen?
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Do 21.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Naja,
theoretisch wäre er damit schon fertig, nur muss er begründen, warum
[mm] \lim_{x\to 0}f(x) [/mm] nicht existiert, was faktisch aufs selbe hinausläuft.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > Meine Lösung mit dem Limes wäre:
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow 0}f(x)[/mm] hat keinen Grenzwert, also
> > [mm]\limes_{x \rightarrow 0 +}f(x) \not=[/mm] 0 [mm]\not= \limes_{x\rightarrow 0 -}[/mm]
> > und daraus folgt, dass f in 0 unstetig ist.
> > Ist das richtig argumentiert?
>
> Nein. Da oben steht nichts brauchbares.
Warum? Wenn die Funktion von links und von rechts nicht gegen null läuft, dann ist sie ja nicht stetig in 0 oder?
> Finde eine Nullfolge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](f(x_n))[/mm] keine
> Nullfolge ist
[mm] (x_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist eine Nullfolge
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{n}} [/mm] = n
[mm] (f(x_n)) [/mm] ist damit keine Nullfolge.
Ist das richtig?
> Fred
>
>
> >
> > Wie kann man die Aufgabe mit Hilfe von Teilfolgen lösen?
> >
> >
> >
> >
> >
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Warum? Wenn die Funktion von links und von rechts nicht
> gegen null läuft, dann ist sie ja nicht stetig in 0 oder?
>
> > Finde eine Nullfolge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](f(x_n))[/mm] keine
> > Nullfolge ist
>
> [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge
>
> [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{n}}[/mm] = n
>
> [mm](f(x_n))[/mm] ist damit keine Nullfolge.
>
> Ist das richtig?
Natürlich ist das richtig, aber damit löst du die Aufgabe nicht.
Bisher hast du nur Aussagen gebracht, aber keinen Beweis.
Warum ist [mm] $f(x_n)$ [/mm] denn keine Nullfolge?
Bei Mathematischen Aufgaben kommt es nur in den seltensten Fällen auf das Ergebnis an, viel wichtiger sind die Beweisschritte bzw der Lösungsweg und den gibt es bei dir noch nicht.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Warum? Wenn die Funktion von links und von rechts nicht
> > gegen null läuft, dann ist sie ja nicht stetig in 0 oder?
> >
> > > Finde eine Nullfolge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](f(x_n))[/mm] keine
> > > Nullfolge ist
> >
> > [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge
> >
> > [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{n}}[/mm] = n
> >
> > [mm](f(x_n))[/mm] ist damit keine Nullfolge.
> >
> > Ist das richtig?
>
> Natürlich ist das richtig,
Nein: [mm] f(x_n) [/mm] = sin(n)
FRED
> aber damit löst du die Aufgabe
> nicht.
> Bisher hast du nur Aussagen gebracht, aber keinen Beweis.
> Warum ist [mm]f(x_n)[/mm] denn keine Nullfolge?
>
> Bei Mathematischen Aufgaben kommt es nur in den seltensten
> Fällen auf das Ergebnis an, viel wichtiger sind die
> Beweisschritte bzw der Lösungsweg und den gibt es bei dir
> noch nicht.
>
> MFG,
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > Hiho,
> >
> > > Warum? Wenn die Funktion von links und von rechts nicht
> > > gegen null läuft, dann ist sie ja nicht stetig in 0 oder?
> > >
> > > > Finde eine Nullfolge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](f(x_n))[/mm] keine
> > > > Nullfolge ist
> > >
> > > [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge
> > >
> > > [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{n}}[/mm] = n
> > >
> > > [mm](f(x_n))[/mm] ist damit keine Nullfolge.
> > >
> > > Ist das richtig?
> >
> > Natürlich ist das richtig,
>
>
> Nein: [mm]f(x_n)[/mm] = sin(n)
>
> FRED
Ach natürlich:
[mm] (x_n) [/mm] = [mm] \bruch{2}{(2n+1)\pi}
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] sin\bruch{1}{ \bruch{2}{(2n+1)\pi}} [/mm] = sin [mm] \bruch{(2n+1)\pi}{2}
[/mm]
und lim [mm] f(x_n) [/mm] = 1 für alle n, also ist [mm] f(x_n) [/mm] keine Nullfolge, obwohl [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
|
|
|
| |
|
> > > Hiho,
> > >
> > > > Warum? Wenn die Funktion von links und von rechts nicht
> > > > gegen null läuft, dann ist sie ja nicht stetig in 0 oder?
> > > >
> > > > > Finde eine Nullfolge [mm](x_n),[/mm] so dass [mm](f(x_n))[/mm] keine
> > > > > Nullfolge ist
> > > >
> > > > [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine Nullfolge
> > > >
> > > > [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{n}}[/mm] = n
> > > >
> > > > [mm](f(x_n))[/mm] ist damit keine Nullfolge.
> > > >
> > > > Ist das richtig?
> > >
> > > Natürlich ist das richtig,
> >
> >
> > Nein: [mm]f(x_n)[/mm] = sin(n)
> >
> > FRED
>
> Ach natürlich:
> [mm](x_n)[/mm] = [mm]\bruch{2}{(2n+1)\pi}[/mm]
> [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]sin\bruch{1}{ \bruch{2}{(2n+1)\pi}}[/mm] = sin
> [mm]\bruch{(2n+1)\pi}{2}[/mm]
> und lim [mm]f(x_n)[/mm] = 1 für alle n, also ist [mm]f(x_n)[/mm] keine
> Nullfolge, obwohl [mm](x_n)[/mm] eine Nullfolge ist.
Na fast..... deine Folge beinhaltet auch [mm] $\bruch{3}{2}\pi +2k\pi$ [/mm] und da gilt [mm] $\sin(\bruch{3}{2}\pi) [/mm] = -1$
Aber die Idee passt 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
Alles klar, vielen Dank!
|
|
|
|
