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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mi 14.01.2004 | | Autor: | AstridW |
Hallo zusammen!
Ich hab noch mal ein kleines Problem mit Unstetigkeitsstellen: Also die a) müsste ja eigentlich so gehen wie die diriltsche Sprungfunktion,aber das klappt irgendwie nicht. Und die c) ist doch stetig überall außer in x elemnet von den ganzen Zahlen, oder??? Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen? Ich bräuchte das für morgen nachmittag.
Bestimmen Sie die Stetigkeitsstellen und die Unsterigkeitsstellen von folgenden Funktionen:
a) f:[mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm],x -->(x 2 -1 falls [mm]x\in[/mm][mm]\IQ [/mm]
(0 sonst
b) g:[mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm], x-->([mm] \bruch{1}{q}[/mm] falls x=[mm]\bruch{p}{q}[/mm][mm]\in\IQ [/mm] mit teilerfremden p,q [mm]\in \IZ [/mm],q>0
(0 sonst
(Bemerkung: g(0)=1, da nur q=1 teilerfremd zu p=0 ist.)
c) h:[mm]\IR [/mm]-->[mm]\IR [/mm],x-->x-[x]
d)H: [mm]\IR [/mm]-->[mm]\IR [/mm],x-->h(x)(1-h(x))
Danke schon mal
Astrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Fangen wir mal locker an... 
> a) f:[mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm],x -->(x 2 -1 falls [mm]x\in[/mm][mm]\IQ [/mm]
> (0 sonst
Also, diese Funktion ist stetig in [mm]x=1[/mm] und [mm]x=-1[/mm] (das ist trivial, soll ich es noch zeigen?) und in allen anderen Punkten unstetig. Pass auf, ich mache die Beweise dann alle extra und schreibe jetzt erstmal nur die Ergebnisse auf, die ich herausbekommen habe.
> b) g:[mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm], x-->([mm] \bruch{1}{q}[/mm] falls x=[mm]\bruch{p}{q}[/mm][mm]\in\IQ[/mm] mit teilerfremden p,q [mm]\in \IZ [/mm],q>0
> (0 sonst
>
> (Bemerkung: g(0)=1, da nur q=1 teilerfremd zu p=0 ist.)
Diese Funktion ist in den rationalen Punkten unstetig und in den irrationalen Punkten stetig.
> c) h:[mm]\IR [/mm]-->[mm]\IR [/mm],x-->x-[x]
Diese Funktionen ist (wie du sagst) in den ganzen Zahlen unstetig und sonst überall stetig.
> d)H: [mm]\IR [/mm]-->[mm]\IR [/mm],x-->h(x)(1-h(x))
>
Diese Funktion ist überall stetig.
Die Beweise folgen...heute oder morgen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 15.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid,
ich schaffe es vermutlich doch nicht die Beweise aufzuschreiben, da wir heute vom Wissenschaftsrat begutachtet werden und das für die Zukunft von uns allen eine enorme Bedeutung hat (und ich noch Sachen vorbereiten muss).
Aber: Die Aussagen hast du ja, und die Beweise sind extrem einfach, die kriegst du schon hin, außerdem hilft dir ja vielleicht jemand anders noch.
Nur ein paar Hinweise:
a) Unterscheide die Fälle "x rational, x ungleich 1,-1" und "x irrational". Nutze aus, dass [mm]\tilde{f}(x) = x²-1[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
b) x irrational => Wähle [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig und
[mm]\delta:=\frac{1}{2}\, dist(x,A)[/mm]
mit [mm]A=\{y =\frac{p}{q}\, :\, [x]\le y \le [x]+1, \,q>0, p,q\in \IZ \ \mbox{teilerfremd},\, \frac{1}{q} \ge \varepsilon\}[/mm]
[mm]A[/mm] ist endlich, d.h. es gilt: [mm]\delta>0[/mm]. Jetzt nur noch die (dann triviale) Stetigkeitsbedingung überprüfen.
Für rationales [mm]x[/mm] wie in a) vorgehen (ist dort unstetig, trivial).
c) völlig klar
d) auch einfach, nutze aus, dass die Funktion [mm]x \mapsto x(1-x)[/mm] für alle [mm]0
[mm]|H(x-\delta)-H(x)| = (1-\delta)\cdot \delta < \epsilon[/mm]
für [mm]x \in \IZ[/mm].
Tut mir leid, mehr Zeit habe ich jetzt echt nicht. :-(
Aber du schaffst das... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 15.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Astrid,
die Unstetigkeit auf [mm] \IR \setminus \{-1,1\} [/mm] könntest du z.B. so zeigen:
Sei [mm] x_0 \in \IR\setminus \IQ [/mm] und
sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge mit [mm] x_n \in \IQ [/mm] und mit [mm] \limes_{n\to\infty} x_n = x_0 [/mm] (so eine Folge gibt es, da [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] dicht in [mm]\IR [/mm] liegt).
Nun ist [mm] \limes_{n\to\infty} f(x_n) = \limes_{n\to\infty} x_n^2-1 =x_0^2-1 \neq0 [/mm], da f auf [mm] \IR [/mm] stetig wäre, aber
[mm] f(x_0) = 0 [/mm], da [mm] x_0 \in \IR\setminus\IQ [/mm], also
[mm] \limes_{n\to\infty} f(x_n) \neq f(x_0) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht stetig in [mm] x_0 [/mm].
Dieselbe Argumentation kann man nun für [mm] x_0\in\IQ\setminus\{-1,1\} [/mm] und [mm] x_n \in \IR\setminus\IQ [/mm] durchführen, da auch [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
HTH,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Do 15.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid,
es tut mir wirklich leid, dass dir keiner bei den Aufgaben b)-d) mehr geholfen hat. (Danke für Marc für seine Hilfe bei Aufgabenteil a)).
Es ging bei mir einfach definitiv nicht. Unser Forschungsinstitut wird alle fünf Jahre von renommierten Professoren und anderen Spitzenkräften aus Wissenschaft, Forschung und Industrie begutachtet, und heute war es soweit. Da konnte ich mich um eure Analysis-I-Aufgaben leider nicht kümmern.
Ich hoffe du hast die Aufgaben aber auch mit meinen Tipps lösen können. Wenn ja, kannst du deine Beweise gerne zur Probe hier hereinstellen. Ich kontrolliere sie dann. Ansosten ist der Beitrag ja überfällig, insofern gehe ich davon aus, dass du an den Beweisen nicht mehr interessiert bist. Falls doch, dann schreibe uns das bitte (ins Forum). In diesem Fall formuliere ich dir die Beweise noch aus. Ansonsten wird die Frage ab übermorgen als "erledigt" eingestuft und nicht weiter bearbeitet.
Es ist deine Entscheidung, aber lass es dir von jemandem sagen, der sein Studium hinter sich hat: Der ständige (Voraus-)Blick bis zum nächsten Übungszettel ist nicht wirklich hilfreich. Auch eine Nacharbeitung der alten Übungszettel ist dringend erforderlich!! Man muss sich klar machen, was man falsch gemacht hat und was bei der Aufgabe eigentlich gefordert war. Nur so kommt man voran.
Liebe Grüße
Stefan
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