Unstetigkeitsstellen Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweise, dass eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion [mm] F:\IR\to [/mm] [0,1] höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben kann. |
Hallo!
Mein Beweisanfang sieht so aus:
Es sei S die Menge aller Unstetigkeitsstellen von F.
- Zu jedem [mm] $x_{0}\in [/mm] S$ gehört also ein "Sprung", der eine bestimmte Größe hat. Da F rechtsseitig stetig ist, können wir die "Sprunggröße" konkret angeben als [mm] $s_{x_{0}} [/mm] = [mm] F(x_{0}) [/mm] - [mm] \lim_{x\to x_{0}-}F(x)$.
[/mm]
- Da für [mm] x_{0}\in [/mm] S gilt: [mm] s_{x_{0}}\in\IR_{+}, [/mm] können wir die Sprunggrößen der Größe nach ordnen und in eine Menge stecken: G. Zusammenaddiert müssen alle Elemente aus G aber [mm] \le [/mm] 1 sein, weil F als Wertebereich ja nur [0,1] hat.
Ich vermute, dass es nun Widersprüche gibt, wenn S überabzählbar viele Sprungstellen hat, aber wie genau gehe ich jetzt vor?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
die Betrachtung der "Sprunggrößen" ist in der Tat der Schlüssel zum Beweis. Zusammenaddieren könntest du die "Sprunggrößen" nicht, wenn es überabzählbar viele wären.
Betrachte mal für eine beliebige natürliche Zahl n die Menge aller Unstetigkeitsstellen mit "Sprunggröße" größer gleich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und versuche ihre Mächtigkeit abzuschätzen.
Wie hängen diese Mengen mit der Menge aller Unstetigkeitsstellen zusammen?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo tobit09,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
> die Betrachtung der "Sprunggrößen" ist in der Tat der
> Schlüssel zum Beweis. Zusammenaddieren könntest du die
> "Sprunggrößen" nicht, wenn es überabzählbar viele
> wären.
>
> Betrachte mal für eine beliebige natürliche Zahl n die
> Menge aller Unstetigkeitsstellen mit "Sprunggröße"
> größer gleich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und versuche ihre Mächtigkeit
> abzuschätzen.
> Wie hängen diese Mengen mit der Menge aller
> Unstetigkeitsstellen zusammen?
Mhh..
Also, die Teilmenge [mm] G_{n} [/mm] der Sprunggrößen G mit [mm] s\in G_{n} [/mm] und s > 1/n darf ja dann höchstens n Elemente haben (ist eigentlich schon zuviel, aber ich nehme an, das reicht für eine Abschätzung).
Und nun ist es ja so, dass ich mit [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}G_{n} [/mm] = G$ ganz G erhalte, vereinige ich abzählbar viele Mengen, die jeweils abzählbar viele Elemente haben, also hat auch G abzählbar viele Elemente.
Stimmt das so ?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ja, so kann man hier argumentieren!
Du solltest allerdings besser Mengen von Unstetigkeitsstellen statt Mengen von Sprunggrößen betrachten. Schließlich soll ja nicht nur maximal abzählbar viele Sprunggrößen auftreten, sondern sogar maximal abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. Deine Argumentation bleibt auch mit dieser Veränderung weiterhin richtig.
|
|
|
| |
|
Hallo Tobias,
Vielen Dank für deine Antwort!
Dann probiere ich es jetzt nochmal exakt.
Eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion [mm] F:\IR\to[0,1] [/mm] hat maximal abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.
Beweis:
Sei S die Menge der Unstetigkeitsstellen. An jeder Unstetigkeitsstelle [mm] x_{0}\in [/mm] S gilt wegen der rechtsseitigen Stetigkeit von F [mm] \lim_{x\to x_{0}-}F(x) \not= F(x_{0}), [/mm] d.h. die Funktion F macht an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] einen "Sprung" der Länge [mm] $F(x_{0})-\lim_{x\to x_{0}-}F(x)$ [/mm] (da F monoton wachsend).
Wir betrachten nun jeweils die Teilmengen [mm] $S_{n}\subset [/mm] S$, für die gilt:
[mm] $\forall x_{0}\in S_{n}: F(x_{0})-\lim_{x\to x_{0}-}F(x) [/mm] > [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
Da der Wertebereich von F gerade [0,1] ist und F monoton wachsend, kann [mm] S_{n} [/mm] höchstens n Elemente haben (Hätte [mm] S_{n} [/mm] mehr Elemente, wäre die Summe aller "Sprunglängen" größer als 1, was ein Widerspruch dazu ist, dass der Wertebereich von F mit [0,1] die Länge 1 hat).
Es gilt $S = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}S_{n}$, [/mm] d.h. S lässt sich als Vereinigung von abzählbar vielen Mengen mit abzählbar vielen Elementen darstellen. Damit ist S selbst auch abzählbar.
--> F hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen.
So okay  ?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> So okay ?
Ich denke schon!
Kann natürlich sein, dass ein Übungsleiter den folgenden Abschnitt formaler ausgeführt haben will:
> Da der Wertebereich von F gerade [0,1] ist und F monoton
> wachsend, kann [mm]S_{n}[/mm] höchstens n Elemente haben (Hätte
> [mm]S_{n}[/mm] mehr Elemente, wäre die Summe aller "Sprunglängen"
> größer als 1, was ein Widerspruch dazu ist, dass der
> Wertebereich von F mit [0,1] die Länge 1 hat).
Aber ich denke, das geht schon in Ordnung...
Eine Kleinigkeit noch:
> Wir betrachten nun jeweils die Teilmengen [mm]S_{n}\subset S[/mm],
> für die gilt:
>
> [mm]\forall x_{0}\in S_{n}: F(x_{0})-\lim_{x\to x_{0}-}F(x) > \frac{1}{n}[/mm].
Das würde stets z.B. auch die leere Menge tun, [mm]S_n[/mm] wäre also im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Gemeint ist natürlich, dass für [mm]x_0\in S[/mm] genau dann [mm]x_0\in S_n[/mm] gilt, wenn [mm]F(x_{0})-\lim_{x\to x_{0}-}F(x) > \frac{1}{n}[/mm]. Kurz und einfacher: [mm]S_n=\{x_0\in S | F(x_{0})-\lim_{x\to x_{0}-}F(x) > \frac{1}{n}\}[/mm].
|
|
|
| |
|
Hey Tobias,
vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
Hat mir sehr geholfen!!!
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
