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| Aufgabe | | man zeige, dass eine endliche Gruppe von Nichtprimzahlordnung eine echte Untergruppe (d.h. eine zu 1 und G verschiedene Untergruppe) enthält |
hallo ihr...
Könnt ihr mir einen Tip geben, wie man an diese aufgabe herangeht?
Also die Bedingung für ne Untergruppe ist ja: a,b [mm] \in [/mm] G => a ° [mm] b^{-1} \in [/mm] G
und die ordnung einer Gruppe ist die Anzahl der Elemente.
Was kann ich mir als nächstes überlegen?
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Satz von Cauchy:
p teilt |G| [mm] \Rightarrow [/mm] G enthält ein Element der Ordnung p
Da Deine Gruppe ja nicht-Primzahlordnung (nennen wir das mal m)hat, gibt es eine Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung:
|G| = m = [mm] p_{1} \* [/mm] ... [mm] p_{n}
[/mm]
und damit mindestens n Untergruppen mit den jeweiligen Ordnungen UND auch aller möglichen Produkte aus den Faktoren.
Wenn nun Deine Gruppe nur die Untergruppen {1} und G hätte, dann:
|{1}| = 1
|G| = m
Es muss aber auch Untergruppen mit den Faktoren etc. als Ordnung geben.
Also: Widerspruch zum Satz von Cauchy
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt weitere, echte Untergruppen
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