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| Aufgabe | Lösen Sie das LGS Ax = b mittels Gaußverfahren
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 }
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 6 \\ 2 \\ 8 } [/mm] |
Hallo,
das ist ein unbestimmtes LGS. Mehr Variablen als Gleichungen. Bei einem unterbestimmten LGS gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Ansatz:
A|b
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 8}
[/mm]
Vertauschen der ersten Zeile mit der dritten:
A|b = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 &2 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6}
[/mm]
Subtrahiere erste Zeile mit der zweiten:
A|b = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6}
[/mm]
Wenn ich jetzt die zweite und die dritte Zeile voneinander abziehe habe ich:
A|b = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 8\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was mache ich falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 04.01.2015 | | Autor: | Ladon |
> Was mache ich falsch ?
Nichts 
0=0 ist doch immer richtig.
Du wirst nur recht viele Lösungen erhalten.
MfG
Ladon
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Hallo, danke für die Antwort.
Gut, aber was mache ich jetzt hier mit :
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 8\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Irgendwie muss ich ja die Lösungsmenge angeben.
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> Hallo, danke für die Antwort.
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> Gut, aber was mache ich jetzt hier mit :
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> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 2 & 0 & 5 &|\quad 8\\ 0 & 0 & \red{2} & 1 & 3 &|\quad 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & |\quad 0 }[/mm]
>
> Irgendwie muss ich ja die Lösungsmenge angeben.
Hallo,
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) sind in Spalte 1 und 3,
man kann die 2., 4., 5.Variable frei wählen.
Mit [mm] x_5:=t
[/mm]
[mm] x_4:=s
[/mm]
[mm] x_2:=r [/mm]
bekommt man aus Zeile 2
[mm] 2x_3+x_4+3x_5=6 \quad [/mm] <==>
[mm] x_3=3-0.5s-1.5t,
[/mm]
und aus Zeile 1
[mm] x_1+3x_3+5x_5=8\quad [/mm] <==>
[mm] x_1=8-3x_3-5x_5=-1+1.5s-0.5t.
[/mm]
Also haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{-1+1.5s-0.5t\\r\\3-0.5s-1.5t\\s\\t}=\vektor{-1\\0\\3\\0\\0}+r\vektor{0\\1\\0\\0\\0}+t\vektor{-0.5\\ \\ \\ \\ }+s\vektor{1.5\\ \\ \\ \\} [/mm] mit [mm] r,s,t\in \IR.
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 04.01.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen lieben Dank für die Antworten.
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