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| Aufgabe | | Zeigen Sie das das Produkt zwei unteren Dreiecksmatrizen aus [mm] K^{n\times n} [/mm] wieder eine untere Dreiecksmatrix ist. |
Hi,
im Prinzip ist die Aufgabe einfach. Ich hab mir zwei solcher Matrizen [mm] A^{n\times n} [/mm] ganz allgemein [mm] (a_{ij})aufgeschrieben [/mm] hab die Elemente multipliziert und wollt damit zeigen das es wieder eine untere Matrix ist. Jedoch wird diese Matrix riesig und unübersichtlich. Fällt euch vllt eine elegantere Lösung ein z.B. vollständige Induktion oder sowas? Kann man das möglicherweise nur für eine Zeile zeigen und dann auf den Rest schliessen?
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Hallo
> Zeigen Sie das das Produkt zwei unteren Dreiecksmatrizen
> aus [mm]K^{n\times n}[/mm] wieder eine untere Dreiecksmatrix ist.
> Hi,
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> im Prinzip ist die Aufgabe einfach. Ich hab mir zwei
> solcher Matrizen [mm]A^{n\times n}[/mm] ganz allgemein
> [mm](a_{ij})aufgeschrieben[/mm] hab die Elemente multipliziert und
> wollt damit zeigen das es wieder eine untere Matrix ist.
> Jedoch wird diese Matrix riesig und unübersichtlich.
> Fällt euch vllt eine elegantere Lösung ein z.B.
> vollständige Induktion oder sowas? Kann man das
> möglicherweise nur für eine Zeile zeigen und dann auf den
> Rest schliessen?
Du kannst die Matrixmultiplikation ja als eine Summe zusammenfassen, bei welcher der Index ja bis zur Dimension der Matrix geht
(Also irgendwie [mm] c_{i,j} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{n}{blabla}.. [/mm] Musst einfach die Summe suchen oder dir mal überlegen).
Damit solltest du die Aufgabe lösen können. Zeige einfach, welche Indizes die Elemente besitzen, die nach der Multiplikation = 0 sind.
Grüsse, Amaro
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Das ist mir schon klar das es diese Summe gibt:
A [mm] \cdot [/mm] B := [mm] (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n} [/mm] und [mm] c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}
[/mm]
Nur soll ich es ja zeigen für eine beliebige n [mm] \times [/mm] n Matrix. Also kann ich nicht ein paar Nullen ausrechnen und dann sagen "joa klappt doch" :)
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Hallo
> Das ist mir schon klar das es diese Summe gibt:
> A [mm]\cdot[/mm] B := [mm](c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}[/mm] und
> [mm]c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}[/mm]
>
> Nur soll ich es ja zeigen für eine beliebige n [mm]\times[/mm] n
> Matrix. Also kann ich nicht ein paar Nullen ausrechnen und
> dann sagen "joa klappt doch" :)
Du sollst es für zwei beliebige [mm] n\times [/mm] n untere Dreiecksmatrizen zeigen... das kannst du eben mit dieser Summe, da die von n abhängt.
Schau dir das Produkt an.. [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
[/mm]
Jetzt machst du Fallunterscheidungen.
- Ist k < i [mm] \Rightarrow a_{ik} [/mm] = 0 und somit das ganze Produkt
- Ist k [mm] \ge [/mm] i > j [mm] \Rightarrow b_{kj} [/mm] = 0 und ebenfalls das ganze Produkt
Also folgt daraus... ;)
Grüsse, Amaro
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> Jetzt machst du Fallunterscheidungen.
>
> - Ist k < i [mm]\Rightarrow a_{ik}[/mm] = 0 und somit das ganze
> Produkt
> - Ist k [mm]\ge[/mm] i > j [mm]\Rightarrow b_{kj}[/mm] = 0 und ebenfalls das
> ganze Produkt
Das ist ne coole Idee :) Aber du meinst wohl
Fall1: k>i => [mm] a_{ik} [/mm] = 0
Fall2: k>k => [mm] b_{kj} [/mm] = 0
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Hey
> Das ist ne coole Idee :) Aber du meinst wohl
> Fall1: k>i => [mm]a_{ik}[/mm] = 0
> Fall2: k>k => [mm]b_{kj}[/mm] = 0
>
Entschudige, ich habe an oberen Dreiecksmatrizen gedacht ^^ aber du hast den Fehler ja gesehen.. kannst entsprechend die Bedingungen für die untere Dreiecksmatrix aufstellen!
Da hast du dich im zweiten Fall auch vertippt ;)
Kannste den Beweis zu Ende führen?
Grüsse, Amaro
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> Hey
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> > Das ist ne coole Idee :) Aber du meinst wohl
> > Fall1: k>i => [mm]a_{ik}[/mm] = 0
> > Fall2: k>k => [mm]b_{kj}[/mm] = 0
> Da hast du dich im zweiten Fall auch vertippt ;)
Fall2: k<j => [mm] b_{kj} [/mm] = 0
> Kannste den Beweis zu Ende führen?
Ich überleg die ganze Zeit hab jetzt einfach unter die zwei Fälle geschrieben
[mm] \Rightarrow c_{ij} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n
Aber ich glaub das ist nicht so ersichtlich oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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