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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Untergrupen
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Untergrupen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:27 Mi 10.11.2004
Autor: jaz

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen würde.

4. Beweisen sie, dass es zu jeder Untergruppe U von (Z; +) ein m € Z gibt,
so dass
U = {mx / x €Z }ist.

Vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Untergrupen: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Mi 10.11.2004
Autor: Julius

Hallo jaz!

Also entweder es gilt [mm] $U=\{0\}$, [/mm] oder aber $U$ enthält ein kleinstes Element in der Menge der natürlichen Zahlen, nennen wir es $m$. Dann liegen natürlich alle Vielfachen $mx$ $(x [mm] \in \IZ)$ [/mm] in $U$.

Nehmen wir mal an es würde $y [mm] \in [/mm] U$ gelten für ein $y$, das kein Vielfaches von $m$ ist.

Dann teilst du einfach $y$ durch $m$ mit Rest und versuchst einen Widerspruch zur Wahl von $m$ herzuleiten...

Versuche es bitte mal und melde dich mit einem Lösungsversuch bzw. weiteren Fragen. :-)

Liebe Grüße
Julius
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Bezug
Untergrupen: unklarheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Fr 12.11.2004
Autor: jaz

Danke für den Ansatz aber ich komme trotzdem leider nicht auf den Lösungsweg.
Könntest du vielleicht deinen Ansatz weiter fortführen?
Gruß Jaz.
Bezug
                        
Bezug
Untergrupen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Fr 12.11.2004
Autor: Julius

Hallo jaz!

Also, ich weiß jetzt wirklich nicht, was da meinem Ansatz unklar sein soll. [haee] [kopfkratz3]

Naja [keineahnung], machen wir mal weiter...

Also, $U$ enthält irgendein kleinstes Element in der Menge der natürlichen Zahlen. Da $U$ eine Untergruppe von $Z$ ist, müssen auch alle ganzzahligen Vielfachen

$z [mm] \cdot [/mm] m [mm] \in [/mm] U$    für alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm]

in $U$ liegen, also gilt:

$m [mm] \IZ \subset [/mm] U$.

Zu zeigen bleibt also:

$U [mm] \subset m\IZ$. [/mm]

Ist $u [mm] \in [/mm] U$ beliebig gewählt, dann teilen wir $u$ durch $m$ mit Rest:

$u = q [mm] \cdot [/mm] m + r$

mit einem $0 [mm] \le [/mm] r < m$.

Wegen $u [mm] \in [/mm] U$ und $m [mm] \in [/mm] U$ gilt dann aber auch

$r= u - q [mm] \cdot [/mm] m [mm] \in [/mm] U$.

Im Falle $r [mm] \ne [/mm] 0$ ergibt sich ein Widerspruch zur Wahl von $m$, denn dann ist $r [mm] \in [/mm] U$, $r [mm] \in \IN$ [/mm] und $r<m$ (aber $m$ was ja als kleinstes Element in [mm] $U\cap \IN$ [/mm] gewählt).

Also gilt: $r=0$ und damit:

$u = q [mm] \cdot [/mm] m [mm] \in m\IZ$. [/mm]

Viele Grüße
Julius
Bezug
        
Bezug
Untergrupen: Lineare Algebra I
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Do 11.11.2004
Autor: Ladi

Hi Jaz!

Du bist nicht zufällig beim Krause im Kurs, oder?
Und falls ja, hast du die 4. Aufgabe schon gelöst?
Ich nämlich nicht.....;-((((
bis denn
Ladi
Bezug
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