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Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mo 23.11.2015
Autor: Blutritter

Aufgabe
Sei G eine beliebige Gruppe, [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] beliebige Untergruppen von G und U = [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm]

Ist U eine Untergruppe von G?

Hallo,

also so wie ich die Aufgabe verstehe muss fuer je zwei beliebige Untergruppen aus G gelten, dass der Schnitt dieser beiden Untergruppen wieder Untergruppe aus G ist.

Ok, es gibt einige Unklarheiten, die ich hier naeher erlaeutern moechte.

Angenommen G := [mm] (\IZ, [/mm] *), [mm] U_{1} [/mm] := [mm] (3\IZ, [/mm] *) und [mm] U_{2} [/mm] := [mm] (2\IZ, [/mm] *), wobei
* = Verknuepfung fuer die Multiplikation sein soll.

Hier die erste Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?

Dann ist U = [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = [mm] (\emptyset, [/mm] *)

Auch hier Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?

[mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \not\in \emptyset \Rightarrow [/mm] e [mm] \not\in [/mm] U.

[mm] \Rightarrow [/mm] Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt,
[mm] \Rightarrow [/mm] Aussage falsch.

Ich moechte also zeigen, dass das neutrale Element e [mm] \not\in \emptyset [/mm] und die Aussage somit nicht stimmt.

Gruss

Blutritter

        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 23.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Sei G eine beliebige Gruppe, [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] beliebige
> Untergruppen von G und U = [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]

>

> Ist U eine Untergruppe von G?
> Hallo,

>

> also so wie ich die Aufgabe verstehe muss fuer je zwei
> beliebige Untergruppen aus G gelten, dass der Schnitt
> dieser beiden Untergruppen wieder Untergruppe aus G ist.

>

> Ok, es gibt einige Unklarheiten, die ich hier naeher
> erlaeutern moechte.

>

> Angenommen G := [mm](\IZ,[/mm] *)

G soll doch eine Gruppe sein ...

[mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...

Was ist denn zB. das Inverse von 2?

> , [mm]U_{1}[/mm] := [mm](3\IZ,[/mm] *) und [mm]U_{2}[/mm] :=
> [mm](2\IZ,[/mm] *), wobei
> * = Verknuepfung fuer die Multiplikation sein soll.

>

> Hier die erste Frage: Ist das von der Schreibweise her
> richtig?

Jo, aber Gruppen sind das nicht ...

>

> Dann ist U = [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = [mm](\emptyset,[/mm] *)

>

> Auch hier Frage: Ist das von der Schreibweise her richtig?

Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das hilft dir hier goar nix ...

>

> [mm]\Rightarrow[/mm] e [mm]\not\in \emptyset \Rightarrow[/mm] e [mm]\not\in[/mm] U.

>

> [mm]\Rightarrow[/mm] Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt,
> [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage falsch.

Das kann doch gar nicht sein.

Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei Untergruppen ...

>

> Ich moechte also zeigen, dass das neutrale Element e
> [mm]\not\in \emptyset[/mm] und die Aussage somit nicht stimmt.

Das wird nicht klappen ...

Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.

Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon gemacht.

Zeige du nun die anderen Axiome ...

>

> Gruss

>

> Blutritter

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:11 Di 24.11.2015
Autor: Blutritter

Hallo schachuzipus,

danke fuer die Antwort.

> G soll doch eine Gruppe sein ...
>  
> [mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...

Ja das sehe ich jetzt auch :).
  

> Was ist denn zB. das Inverse von 2?

1/2 und 1/2 [mm] \not\in \IZ. [/mm] Das Inverse von 2 liegt also nicht in [mm] \IZ [/mm] und somit ist die Bedingung fuer Untergruppe nicht erfuellt, ist das so korrekt?

> Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das
> hilft dir hier goar nix ...

Ok.

> Das kann doch gar nicht sein.
>  
> Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das
> neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei
> Untergruppen ...

Hmm ok und der Schnitt von 2 beliebigen Untergruppen kann nicht leer sein, weil eben das neutrale Element in jeder Untergruppe steckt.

> Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.
>  
> Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon
> gemacht.
>  
> Zeige du nun die anderen Axiome ...

Hmm, leichter gesagt :).

Also es muesste ja noch gezeigt werden, dass zu jedem x [mm] \in [/mm] U ein [mm] x^{-1} \in [/mm] U existiert.

Das Inverse zu einem beliebigen x [mm] \in U_{1} [/mm] liegt wieder in [mm] U_{1}, [/mm] weil das die Bedingung fuer Untergruppe ist. Und [mm] U_{1} [/mm] soll ja eine beliebige Untergruppe sein. Das gleiche gilt fuer [mm] U_{2}, [/mm] wenn ich also ein Element aus dem Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] nehme, dann muss das Inverse dazu auch wieder in U liegen, weil der Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] ja alle gemeinsamen Elemente mit einschliesst (also auch die Inversen). Somit waere die Bedingung auch hier erfuellt.

Dann muss noch gezeigt werden, dass wenn x,y [mm] \in [/mm] U, dann auch xy [mm] \in [/mm] U.

Im Prinzip dieselbe Argumentation. Wenn ich zwei Elemente aus U waehle, dann sind diese sowohl Elemente aus [mm] U_{1} [/mm] als auch aus [mm] U_{2}, [/mm] dann ist das Produkt dieser beiden Elemente auch wieder im Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] weil das Produkt ebenfalls in beiden Mengen enthalten ist also [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}. [/mm]

geht das in die richtige Richtung?

Gruss

Blutritter

Bezug
                        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:59 Di 24.11.2015
Autor: fred97


> Hallo schachuzipus,
>  
> danke fuer die Antwort.
>  
> > G soll doch eine Gruppe sein ...
>  >  
> > [mm](\IZ,\cdot{})[/mm] ist keine Gruppe ...
>  
> Ja das sehe ich jetzt auch :).
>
> > Was ist denn zB. das Inverse von 2?
>  
> 1/2 und 1/2 [mm]\not\in \IZ.[/mm] Das Inverse von 2 liegt also nicht
> in [mm]\IZ[/mm] und somit ist die Bedingung fuer Untergruppe nicht
> erfuellt, ist das so korrekt?
>  
> > Naja, [mm]U_1\cap U_2=\emptyset[/mm] ist schon richtig, aber das
> > hilft dir hier goar nix ...
>  
> Ok.
>  
> > Das kann doch gar nicht sein.
>  >  
> > Es ist doch in jeder Untergruppe einer Gruppe G das
> > neutrale Element von G drin, also auch im Schnitt von zwei
> > Untergruppen ...
>  
> Hmm ok und der Schnitt von 2 beliebigen Untergruppen kann
> nicht leer sein, weil eben das neutrale Element in jeder
> Untergruppe steckt.
>  
> > Zeige lieber, dass die Aussage gilt; das tut sie nämlich.
>  >  
> > Für das neutrale Element habe ich das verbal ja schon
> > gemacht.
>  >  
> > Zeige du nun die anderen Axiome ...
>  
> Hmm, leichter gesagt :).
>  
> Also es muesste ja noch gezeigt werden, dass zu jedem x [mm]\in[/mm]
> U ein [mm]x^{-1} \in[/mm] U existiert.
>  
> Das Inverse zu einem beliebigen x [mm]\in U_{1}[/mm] liegt wieder in
> [mm]U_{1},[/mm] weil das die Bedingung fuer Untergruppe ist. Und
> [mm]U_{1}[/mm] soll ja eine beliebige Untergruppe sein. Das gleiche
> gilt fuer [mm]U_{2},[/mm] wenn ich also ein Element aus dem Schnitt
> von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] nehme, dann muss das Inverse dazu auch
> wieder in U liegen, weil der Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] ja
> alle gemeinsamen Elemente mit einschliesst (also auch die
> Inversen). Somit waere die Bedingung auch hier erfuellt.
>  
> Dann muss noch gezeigt werden, dass wenn x,y [mm]\in[/mm] U, dann
> auch xy [mm]\in[/mm] U.
>  
> Im Prinzip dieselbe Argumentation. Wenn ich zwei Elemente
> aus U waehle, dann sind diese sowohl Elemente aus [mm]U_{1}[/mm] als
> auch aus [mm]U_{2},[/mm] dann ist das Produkt dieser beiden Elemente
> auch wieder im Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] weil das Produkt
> ebenfalls in beiden Mengen enthalten ist also [mm]U_{1}[/mm] und
> [mm]U_{2}.[/mm]
>  
> geht das in die richtige Richtung?

Ja

FRED

>  
> Gruss
>  
> Blutritter


Bezug
                                
Bezug
Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Di 24.11.2015
Autor: Blutritter

Danke!

Bezug
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