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Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:26 Di 18.07.2017
Autor: James90

Hi!

Sei $(G,*)$ eine Gruppe und [mm] $U\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe

a) Sei [mm] $u\in [/mm] U$ und [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$. Zeige oder widerlege [mm] $u*g\not\in [/mm] U$.

[mm] $u\in [/mm] U $ folgt (wegen [mm] U\subseteq [/mm] G) [mm] $u\in [/mm] G$ und damit [mm] $u*g\in [/mm] G$. Aber das ist ja kein Gegenbeispiel. Ich bräuchte bitte ein Tipp!

b) Sei [mm] $u,v\in [/mm] U$. Zeigen Sie, dass [mm] $u*v^{-1}\in [/mm] U$

U ist eine Untergruppe, also gilt

1) [mm] $u,v\in U\Rightarrow u*v\in [/mm] U$
2) [mm] $u\in U\Rightarrow u^{-1}\in [/mm] U$

Aus 1) folgt [mm] $v^{-1}\in [/mm] U$ (*)
Aus 2) und (*) folgt [mm] $u*v^{-1}\in [/mm] U$

Vielen Dank

        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Di 18.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hi!

>

> Sei [mm](G,*)[/mm] eine Gruppe und [mm]U\subseteq G[/mm] eine Untergruppe

>

> a) Sei [mm]u\in U[/mm] und [mm]g\in G\setminus U[/mm]. Zeige oder widerlege
> [mm]u*g\not\in U[/mm].

>

> [mm]u\in U[/mm] folgt (wegen [mm]U\subseteq[/mm] G) [mm]u\in G[/mm] und damit [mm]u*g\in G[/mm].
> Aber das ist ja kein Gegenbeispiel. Ich bräuchte bitte ein
> Tipp!

Das ist ehrlich gesagt ziemlich wirr (wie kommst du bspw. auf die falsche Relation [mm]U \subseteq G[/mm]?)

Edit: sorry, ich hatte die Aufgabe missverstanden.

Beachte, dass die Elemente einer []Faktorgruppe Nebenklassen sind und überlege dir ersteinmal, was mit u*g gemeint ist. Wie gesagt: für mich sieht das so aus, als ob diese Aufgabe an der Unkenntnis der Begriffe Faktorgruppe und Nebenklasse scheitert (daher der Wikipedia-Link).

> b) Sei [mm]u,v\in U[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]u*v^{-1}\in U[/mm]

>

> U ist eine Untergruppe, also gilt

>

> 1) [mm]u,v\in U\Rightarrow u*v\in U[/mm]
> 2) [mm]u\in U\Rightarrow u^{-1}\in U[/mm]

>

> Aus 1) folgt [mm]v^{-1}\in U[/mm] (*)
> Aus 2) und (*) folgt [mm]u*v^{-1}\in U[/mm]

>

Das ist so richtig.


Gruß, Diophant

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Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Di 18.07.2017
Autor: James90

Hi und lieben Dank!!

Auf meinem Blatt steht [mm] $G\setminus [/mm] U$ und nicht die Faktorgruppe $G/U$, aber vielleicht ist es auch nur ein Tippfehler?!

Sei $(G,*)$ eine Gruppe und [mm] $U\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe
Sei [mm] $u\in [/mm] U$ und [mm] $g\in [/mm] G/U$
Zu zeigen [mm] $u*g\in [/mm] U$

Es gilt [mm] $G/U=\{g*U:g\in G\}$ [/mm]
Aus [mm] $g\in [/mm] G/U$ folgt [mm] $g*u\in [/mm] U$
$(G/U,*)$ ist eine Gruppe, also insbesondere assoziativ.
Damit folgt [mm] $g*u=u*g\in [/mm] U$

Ich bin mir beim zweiten Schritt "Aus [mm] $g\in [/mm] G/U$ folgt [mm] $g*u\in [/mm] U$" nicht sicher

Bezug
                        
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Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 18.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Auf meinem Blatt steht [mm]G\setminus U[/mm] und nicht die
> Faktorgruppe [mm]G/U[/mm], aber vielleicht ist es auch nur ein
> Tippfehler?!

Nein, sorry, das war mein Fehler. So [mm] (G\textbackslash{U}) [/mm] macht die Aufgabe auch Sinn. Es geht ja letztendlich nur darum, dass g*u nur dann in der Untegruppe liegen kann, wenn g und u in dieser Untergruppe liegen, was aber nach Voraussetzung nicht der Fall ist. Das lässt sich leicht zeigen, indem du das Produkt g*u geeignet mit dem Inversen von u verknüpfst und als Begründung die Definition einer Untegruppe heranziehst.


Gruß, Diophant

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Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Di 18.07.2017
Autor: James90

Zu zeigen: Sind [mm] $u\in [/mm] U$ und [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$, dann ist [mm] $u*g\not\in [/mm] U$

Sei [mm] $u\in [/mm] U$. U ist eine Gruppe, also existiert ein inverses [mm] ${u^{-1}}\in [/mm] U$ mit [mm] $u*u^{-1}=e$, [/mm] wobei [mm] $e\in [/mm] G$ das neutrale Element bzgl. $"*"$ ist.
U ist eine Gruppe, also gilt auch [mm] $u*u^{-1}\in [/mm] U$. Also gilt insbesondere [mm] $e\in [/mm] U$.
Sei nun [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$.
Multiplikation mit g ergibt [mm] g*u*u^{-1}=g*e=g. [/mm]

Ich komme leider nicht weiter. Ist es bisher richtig?!

Bezug
                                        
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Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Di 18.07.2017
Autor: fred97


> Zu zeigen: Sind [mm]u\in U[/mm] und [mm]g\in G\setminus U[/mm], dann ist
> [mm]u*g\not\in U[/mm]
>  
> Sei [mm]u\in U[/mm]. U ist eine Gruppe, also existiert ein inverses
> [mm]{u^{-1}}\in U[/mm] mit [mm]u*u^{-1}=e[/mm], wobei [mm]e\in G[/mm] das neutrale
> Element bzgl. [mm]"*"[/mm] ist.
>  U ist eine Gruppe, also gilt auch [mm]u*u^{-1}\in U[/mm]. Also gilt
> insbesondere [mm]e\in U[/mm].
> Sei nun [mm]g\in G\setminus U[/mm].
>  Multiplikation mit g ergibt
> [mm]g*u*u^{-1}=g*e=g.[/mm]
>
> Ich komme leider nicht weiter. Ist es bisher richtig?!

Du machst einen Millimeter vorm Ziel schlapp !

Wäre $g*u [mm] \in [/mm] U$, so wäre, wegen [mm] $u^{-1} \in [/mm] U$, auch [mm]g=g*u*u^{-1}\in U[/mm] .

Das ist aber nicht der Fall. Also: $g*u [mm] \notin [/mm] U$.




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Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Di 18.07.2017
Autor: James90

Danke!!!

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