Untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mo 29.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Ist H eine Untergruppe von [mm]S_n [/mm] mit n!/2 Elementen, so ist [mm]H= A_n[/mm] |
Hallo erstmal,
Ich weiß, dass die Gruppenordnung von [mm]S_n = n! [/mm]ist.
Nach Lagrange gilt [mm]|S_n|=[S_n: A_n]*|A_n| [/mm]und die Ordnung von[mm] A_n[/mm] ist n!/2.
Der Index beträgt also 2, d.h. die Anzahl der Linksnebenklassen die gleich der Rechtsnebenklassen sind ist 2.
Warum ist [mm]A_n [/mm]jetzt gleich H?
Ich weiß, dass für n>=3 jedes Element von [mm]A_n[/mm] als Produkt von Dreierzyklen geschrieben werden kann.
Aber wie folgere ich hieraus, dass [mm]A_n =H[/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mo 29.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ist H eine Untergruppe von [mm]S_n[/mm] mit n!/2 Elementen, so ist
> [mm]H= A_n[/mm]
> Hallo erstmal,
>
> Ich weiß, dass die Gruppenordnung von [mm]S_n = n! [/mm]ist.
> Nach
> Lagrange gilt [mm]|S_n|=[S_n: A_n]*|A_n| [/mm]und die Ordnung von[mm] A_n[/mm]
> ist n!/2.
>
> Der Index beträgt also 2, d.h. die Anzahl der
> Linksnebenklassen die gleich der Rechtsnebenklassen sind
> ist 2.
Insbesondere ist $H$ also ein Normalteiler.
Die Faktorgruppe [mm] $S_n [/mm] / H$ hat also zwei Elemente, was bedeutet dass [mm] $g^2 \in [/mm] H$ ist fuer alle $g [mm] \in S_n$.
[/mm]
> Warum ist [mm]A_n [/mm]jetzt gleich H?
>
> Ich weiß, dass für n>=3 jedes Element von [mm]A_n[/mm] als Produkt
> von Dreierzyklen geschrieben werden kann.
> Aber wie folgere ich hieraus, dass [mm]A_n =H[/mm] ist?
Zeige, dass jeder Dreierzykel in $H$ liegt. Daraus folgt dann [mm] $A_n \subseteq [/mm] H$, und da beides endliche Mengen sind mit gleich vielen Elementen folgt [mm] $A_n [/mm] = H$.
Aber wieso liegt jeder Dreierzykel in $H$? Zeige, dass sich jeder Dreierzykel [mm] $\sigma$ [/mm] als [mm] $\tau^2$ [/mm] schreiben kann, wobei [mm] $\tau$ [/mm] ein weiterer Dreierzykel ist: daraus folgt [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau^2 \in [/mm] H$, da $|G/H| = 2$ ist.
LG Felix
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