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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 29.04.2010 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | Sei D [mm] \subset \IR² [/mm] ein gleichseitiges Dreieck, dessen Umkreismittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Es sei G = GL( [mm] \IR²) [/mm] die allgemeine lineare Gruppe des 2-dimensionalen Vektorraumes [mm] \IR².
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass H:={g [mm] \in [/mm] G; g(D)=D} [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe ist und bestimmen Sie die Elemente von H.
(b) Ist die Gruppe abelsch? |
Hier weiß ich nicht so recht, wie ich anfangen soll. Natürlich muss ich die Untergruppeneigenschaften nachweisen, also wenn g,h in G, dann auch gh in G, inverses und neutrales Element vorhanden. Und wenn ich zeigen soll, dass die Gruppe abelsch ist, muss ich zeigen, dass sie kommutativ ist...
Auch gelten beim gleichseitigen Dreieck ja besondere Bedingungen - wie es der Name schon sagt, sind die Seiten gleichlang, also ist der Abstand der Eckpunkte eines solchen Dreiecks gleich...
Wäre schön, wenn jemand das Brett vor meinem Kopf etwas lockern könnte :)
Danke schon mal vorweg
lg. Jana
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Hallo Jana,
stell Dir das Problem auf jeden Fall grafisch vor, ich würde sagen, dass die Elemente von H bestimmte Drehmatrizen sind..., da das für jedes gleichseitige Dreieck mit Mittelpunkt auf dem Koordinatenursprung gelten soll, enthält H auch keine Achsenspiegelungen. Dann sollte doch H auch kommutativ sein (Zurückdrehen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 29.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Hallo Jana,
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> stell Dir das Problem auf jeden Fall grafisch vor, ich
> würde sagen, dass die Elemente von H bestimmte
> Drehmatrizen sind..., da das für jedes gleichseitige
> Dreieck mit Mittelpunkt auf dem Koordinatenursprung gelten
> soll, enthält H auch keine Achsenspiegelungen.
Da wäre ich nicht unbedingt damit einverstanden. Je nach Dreieck hast du andere Spiegelungen, doch die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist [mm] D_{3}, [/mm] die dritte Diedergruppe... und die hat Spiegelungen drin.
> Dann sollte
> doch H auch kommutativ sein (Zurückdrehen).
>
Kann das jemand überprüfen?
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 29.04.2010 | | Autor: | JanaM. |
Danke für die Antwort :)
Also skizziert habe ich mir das schon... das mit den Drehmatrizen hatten wir noch nicht, aber das mit dem "nicht gehabt haben" ist ja eh so eine Sache auf der Uni^^
Dank Wikipedia weiß ich jetzt, dass ich mir Vektoren vor und nach der Rotation (diese bewegen sich auf einer Kreisbahn) vorstelle und diese zum Beispiel so bezeichne: x= [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] und y= [mm] \vektor{y1 \\ y2}... [/mm] sicherlich habe ich dann bei einem Dreieck drei davon.
Wäre dann das neutrale Element ein Vektor, der durch Multiplikation zu keiner Rotation führt und das inverse Element ein Vektor, der dafür sorgt, dass die Rotation in die andere Richtung ausgeführt wird?
Das sind jetzt meine Ideen dazu - sicherlich nicht sehr fachlich formuliert, da mir das Thema neu ist, ich wäre also dankbar für noch ein wenig Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
also so ríchtig "oberfachlich" kann ich das jetzt auch nicht erklären, aber:
Das Dreieck D ist ja nicht beliebig sondern festgelegt. G beinhaltet jetzt alle Drehungen oder Spiegelungen die du mit dem Dreieck machen kannst, damit wieder das gleiche Dreieck (an der gleichen Position im Koordinatensystem) entsteht. Das sind 6 Stück. Die kannst du z.B. [mm] s_A, s_B, s_C [/mm] (jeweils die Spiegelungen an den Achsen durch die jeweilige Ecke) und [mm] d_{AA}, d_{AB}, d_{AC} [/mm] nennen [mm] (d_{AB} [/mm] soll z.B. die Drehung sein, die A in B überführt, d.h. eine "Drittel-Drehung"). Jetzt musst du dir nur noch die Eigenschaften überlegen. Also z.B. existiert ja ein neutrales Element, nämlich [mm] d_{AA} [/mm] - sozusagen eine komplette 360°-Drehung. Usw.
Das könnte man auch mit Drehmatrizen darstellen, muss man aber nicht. Denn die sind hier gar nicht so wichtig.
LG,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mo 03.05.2010 | | Autor: | JanaM. |
Danke nochmal für alle Hilfen zu den Aufgaben. Hat mir wirklich weiter geholfen :)
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