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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mo 28.06.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen!
Ich habe eine Frage zu Untergruppen, genauer zur folgenden Implikation:
[mm] g^{-1}TgV = V \Rightarrow g^{-1}Tg \le V [/mm]
Wobei T und V Gruppen sind, ich weiss zusätzlich, dass T in V normal ist. Zudem sind beide Gruppen T und V Untergruppen in einer Gruppe G (klein g ist ein Element in G)
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Zusammen!
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> Ich habe eine Frage zu Untergruppen, genauer zur folgenden
> Implikation:
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> [mm]g^{-1}TgV = V \Rightarrow g^{-1}Tg \le V [/mm]
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> Wobei T und V Gruppen sind, ich weiss zusätzlich, dass T
> in V normal ist. Zudem sind beide Gruppen T und V
> Untergruppen in einer Gruppe G (klein g ist ein Element in
> G)
> Danke für die Hilfe!
Nimm ein a [mm] \in g^{-1}Tg, [/mm] dann ex. ein t [mm] \in [/mm] T mit: a= [mm] g^{-1}tg, [/mm] daher
a= [mm] g^{-1}tg= g^{-1}tg*e \in g^{-1}TgV=V.
[/mm]
Also ist [mm] g^{-1}Tg [/mm] Teilmenge von V
Hilft das witer ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 28.06.2010 | | Autor: | physicus |
Naja...dass dies in V liegen muss ist ja klar, nach
[mm] g^{-1}TgV=V [/mm]
Aber woher weiss ich, dass
[mm] g^{-1}Tg [/mm] eine Gruppe bildet? Ich müsste dafür alle 3 Punkte der Definition einer Gruppe nachprüfen, oder sieht man das leichter?
Ich habe vorher vergessen eine Anschlussfrage zu stellen: Wenn ich zusätzlich weiss, dass [mm] T \in Syl_{p}(G) [/mm] ist, woher kann ich sagen, dass [mm] g^{-1}Tg [/mm] auch Element in [mm] Syl_{p}(G) [/mm] ist?
Bemerkung: Ich darf hier die Sylowsätze nicht verwenden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Espe |
hmjoar... das Nachprüfen der Gruppenaxiome für [mm]g^{-1}Tg[/mm] sollte ja nun nicht das große Problem darstellen :
sind [mm] a=g^{-1}tg , b = g^{-1}ug [/mm], dann ist [mm] a*b = g^{-1}tgg^-1g = g^{-1}tug [/mm]
inverses / neutrales Element kriegst du halt genauso, da seh ich nu grad nich dass das so irre "lang" wär.
Was die Sylow-Geschichte angeht kann ich dir aber leider nicht helfen, ich hoffe ich habs geschafft die richtigen Knöppe zu drücken dass die Frage offen oder halboffen oder so bleibt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mo 28.06.2010 | | Autor: | physicus |
Entschuldige, ich habe einen Fehler begangen:
Betreffend Sylow:
Ich weiss, dass [mm] T \in Syl_{p}(V) [/mm] ist.
Aus der Folgerung, dass [mm] g^{-1}Tg \le V [/mm] sollte nun folgen, dass neben T auch [mm] g^{-1}Tg \in Syl_{p}(V) [/mm] ist!
Bitte entschuldigt den Fehler!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 28.06.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
zur zweiten frage: wie habt ihr denn sylow-gruppen definiert? wenn es untergruppen sind deren ordnung die maximale $p$-potenz der umfassenden gruppe ist, dann muss ja hier nur noch gezeigt werden, dass [mm] $|g^{-1}Tg| [/mm] = |T|$ ist. überlege dir dazu, dass [mm] $\gamma_g \colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto g^{-1}xg$ [/mm] ein automorphismus der gruppe ist.
grüße
andreas
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