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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 Di 07.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Zusammen
Obwohl ich weiß was eine Untergruppe ist uzw. kommt mir die Aufgabe bisschen komisch vor. Ich glaube ich verstehe es nicht so
Sei U ein Untervektorraum in [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie dass die Menge
P(V)={ [mm] g\in GL(n,\IR) [/mm] mit [mm] g(V)\subseteq [/mm] V}
eine Untergruppe in [mm] GL(n,\IR) [/mm] ist.
Wie sehen die elemente dieser Untergruppe aus für n=4 und [mm] V=span{e_{1},e_{2}} [/mm] aus?
Wieso ist hier die U Untervektorraum, ich brauche U doch nicht hier oder? Viellicht ist das eine Fehler oder nicht? Ich möchte aber trotzdem Ideen wissen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Ich hatte die Frage vorhin schon sehr ausführlich beantwortet, aber dann ist mal wieder der Server abgestürzt und alles war weg. ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]") Daher diesmal nur eine Kurzfassung:
> Sei U ein Untervektorraum in [mm]\IR^{n}.[/mm] Zeigen Sie dass die
> Menge
>
> [mm]P(V)=\{ g\in GL(n,\IR)[/mm] mit [mm]g(V)\subseteq V\}[/mm]
Hier muss es vermutlich heißen:
$P(U) = [mm] \{g \in GL(n,\IR)\, : \, g(U) \subset U\}$.
[/mm]
> eine Untergruppe in [mm]GL(n,\IR)[/mm] ist.
Naja, das ist kein Problem:
1) Wegen [mm] $id_{\IR^n}(u) [/mm] = u [mm] \subset [/mm] U$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt natürlich [mm] $id_{\IR^n} \in [/mm] P(U)$.
2) Sind $f,g [mm] \in [/mm] P(U)$, so gilt: [mm] $f(u)\in [/mm] U$ für alle $u in U$ sowie $g(u') [mm] \in [/mm] U$ für alle $u' [mm] \in [/mm] U$, und wir erhalten auch:
$(g [mm] \circ [/mm] f)(u) = [mm] g(\underbrace{f(u)}_{=:u' \in U}) \in [/mm] U$,
also: $g [mm] \circ [/mm] f [mm] \in [/mm] P(U)$.
3) Ist $f [mm] \in [/mm] P(U)$, so wollen wir auch [mm] $f^{-1} \in [/mm] P(U)$ zeigen. Es sei $u' [mm] \in [/mm] U$ beliebig gewählt. Da $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] bijektiv ist, gibt es ein $u [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $f(u)=u'$. Wenn wir nun $f(U)=U$ zeigen, dann sind wir fertig, denn dann gilt: [mm] $f^{-1}(u')=u \in [/mm] U$. Wäre aber $f(U) [mm] \ne [/mm] U$, dann wäre $f|U:U [mm] \to [/mm] U$ nicht surjektiv, also auch nicht injektiv. Dann könnte aber auch $f$ nicht injektiv sind, Widespruch.
> Wä
> Wie sehen die elemente dieser Untergruppe aus für n=4 und
> [mm]V=span{e_{1},e_{2}}[/mm] aus?
Dies sind alle Isomorphismen des [mm] $\IR^4$, [/mm] deren Matrixdarstellung bezüglich der Standardbasis die folgende Gestalt hat:
[mm] $\pmat{ \* & \* & \* & \* \\ \* & \* & \* & \* \\ 0 & 0 & \* & \* \\ 0 & 0 & \* & \*}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 08.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Julius, danke erstmal für die Antwort.
Ich habe eigentlich die Die Aufgabi nicht so verstanden. Gibt es hier eine Abbildung oder was? Was wird wohin abgebildet?
Was hat P für eine Bedeutung? Kannst du bitte mir helfen? Danke
Damit ich die aufgabe verstehe
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Hallo!
Ich habe die Aufgabe jetzt gefunden. 
> Ich habe eigentlich die Die Aufgabi nicht so verstanden.
> Gibt es hier eine Abbildung oder was? Was wird wohin
> abgebildet?
>
> Was hat P für eine Bedeutung? Kannst du bitte mir helfen?
> Danke
> Damit ich die aufgabe verstehe
Also mal zu P - vielleicht verstehst du's ja dann, ansonsten frag bitte genau, was du nicht verstehst, da ich leider jetzt auch schon zu müde bin, mir wirklich alles genau durchzulesen...
[mm] P(V)=\{g\in GL(n,\IR) mit g(V) \subseteq V\}
[/mm]
Was für Elemente sind das nun? GL bedeutet wenn ich mich recht erinnere die Menge aller invertierbaren Matrizen, in diesem Fall dann [mm] n\times [/mm] n-Matrizen mit reellen Einträgen. Naja, und da man lineare Abbildungen auch als Matrizen schreibt bzw. Matrizen eine lineare Abbildung angeben, sind die Elemente von P(V) eben Matrizen. (Ich weiß nicht, ob das jetzt so mathematisch korrekt formuliert ist...)
Ach ja, und was wohin abgebildet wird, ist vollkommen egal, du sollst hier etwas für alle invertierbaren Matrizen zeigen!
So, und was genau verstehst du jetzt nicht? Ich gucke mir jetzt noch deine andere Aufgabe an, und wenn du in ca. 10 Minuten hierzu noch nichts nachgefragt hast, dann werde ich wohl mal ins Bett gehen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Do 09.06.2005 | | Autor: | NECO |
Danke dir Bastiane, Geh du schon schlaffen, du musst ja Morgen bestimmt zur Uni. Eigentlich hat der Julius die Aufgabe gelöst.
Ich verstehe seien Schritte nicht. mir R hoch 2 und so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 09.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Zunächst einmal hatte ich leider einen Schreibfehler in der Lösung. Es muss nicht [mm] $id_{\IR^2}$ [/mm] heißen, sondern [mm] $id_{\IR^n}$.
[/mm]
Du musst zeigen, dass diejenigen Isomorphismen [mm] $f:\IR^n \to \IR^n$, [/mm] die $U$ invariant lassen (also diejenigen mit $f(U) [mm] \subseteq [/mm] U$) eine Untergruppe $P(U)$ der Gruppe [mm] $Gl(n,\IR)$ [/mm] aller Isomorphismen $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] bilden. Dazu musst du zunächst einmal zeigen, dass das neutrale Element der Gruppe [mm] $Gl(n,\IR)$ [/mm] aller Isomorphismen $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] in $P(U)$ liegt. Das neutrale Element in dieser Gruppe ist aber die identische Abbildung [mm] $id_{\IR^n}$, [/mm] die wie folgt definiert ist:
[mm] $id_{\IR^n}(x) [/mm] = x$ für alle $x [mm] \in \IR^n$.
[/mm]
Das ist aber einfach, denn dann gilt diese Gleichheit ja insbesondere für alle $x [mm] \in [/mm] U$, und trivialerweise gilt: [mm] $id_{\IR^n}(U) \subseteq [/mm] U$.
Weiterhin musst du zeigen, dass die Verknüpfung zweier Elemente aus $P(u)$ und das Inverse eines Elements aus $P(U)$ wieder in $P(U)$ liegen. Und das habe ich dann im Folgenden getan.
Viele Grüße
Julius
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