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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 28.03.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $ (G,*) $ eine abelsche Gruppe.
Zeige: $ [mm] U:=\{ g \in G | g^{3} = e \} [/mm] $ ist eine Untergruppe von G.
(Hierbei ist $ e $ das neutrale Element bzgl. Multiplikation.) |
Ich schreibe mal meine Idee mit Bitte um Korrektur hier hin.
Würde mich freuen wenn jemand drüber guckt und ein bisschen kommentiert. :)
So, damit U eine Untergruppe ist, muss sie zunächst das neutrale Element enthalten: mit $ [mm] g^{3} [/mm] = g*g*g = e $ folgt ja direkt aus$ g [mm] \in [/mm] G $, dass auch $ g*g*g [mm] \in [/mm] G $ und damit auch $ e [mm] \in [/mm] G $ sein muss. Ist das ausreichend oder geht das noch schöner?!
Weiter muss $ U $ ein Inverses Element enthalten:
Auch klar, da aus $ g*g*g = e $ folgt: $ g*g = [mm] g^{-1} [/mm] $ und weiter, da U ja auf jeden Fall assoziativ sein muss: $ g*(g*g) = [mm] g*g^{-1} [/mm] = e $ .
Demnach ist das inverse Element in $U$.
Noch zu zeigen bleibt, dass U abgeschlossen ist. Hier bin ich mir etwas unsicher. Wegen [mm] $g^{0} [/mm] = e$ und [mm] $g^{3} [/mm] = e$ ist $U$ schonmal zyklisch.
Damit auch abgeschlossen?! Denke ich habe das mit der Abgeschlossenheit noch nicht ganz verstanden..
Vielen Dank schonmal! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo chesn,
> Sei [mm](G,*)[/mm] eine abelsche Gruppe.
>
> Zeige: [mm]U:=\{ g \in G | g^{3} = e \}[/mm] ist eine Untergruppe
> von G.
>
> (Hierbei ist [mm]e[/mm] das neutrale Element bzgl. Multiplikation.)
> Ich schreibe mal meine Idee mit Bitte um Korrektur hier
> hin.
> Würde mich freuen wenn jemand drüber guckt und ein
> bisschen kommentiert. :)
>
> So, damit U eine Untergruppe ist, muss sie zunächst das
> neutrale Element enthalten: mit [mm]g^{3} = g*g*g = e[/mm] folgt ja
> direkt aus[mm] g \in G [/mm], dass auch [mm]g*g*g \in G[/mm] und damit auch
> [mm]e \in G[/mm] sein muss. Ist das ausreichend oder geht das noch
> schöner?!
Um zu zeigen, dass irgendein Element [mm]g\in U[/mm] liegt, musst du zeigen, dass [mm]g^3=e[/mm] gilt.
Also hier: [mm]e^3=e[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]e\in U[/mm].
> Weiter muss [mm]U[/mm] ein Inverses Element enthalten:
> Auch klar, da aus [mm]g*g*g = e[/mm] folgt: [mm]g*g = g^{-1}[/mm] und weiter,
> da U ja auf jeden Fall assoziativ sein muss: [mm]g*(g*g) = g*g^{-1} = e[/mm]
> .
> Demnach ist das inverse Element in [mm]U[/mm].
Auch hier musst du zeigen, dass [mm](g^{-1})^3=e[/mm] für alle [mm]g\in U[/mm] gilt.
Den Anfang hast du ja schon hingeschrieben:
Wenn [mm]g\in U[/mm] ist, folgt [mm]g^3=e[/mm]. Jetzt mutlipliziere dreimal mit [mm]g^{-1}[/mm], dann steht's schon da.
> Noch zu zeigen bleibt, dass U abgeschlossen ist. Hier bin
> ich mir etwas unsicher. Wegen [mm]g^{0} = e[/mm] und [mm]g^{3} = e[/mm] ist [mm]U[/mm]
> schonmal zyklisch.
> Damit auch abgeschlossen?! Denke ich habe das mit der
> Abgeschlossenheit noch nicht ganz verstanden..
Abgeschlossen heißt hier nicht, dass die Gruppe nur endlich viele Elemente hat, sondern dass für zwei Elemente von [mm]U[/mm] auch deren Verknüpfung in [mm]U[/mm] liegt.
Zeige: für [mm]g,h\in U[/mm] folgt [mm](gh)^3=e[/mm]. (Verwende, dass [mm]G[/mm] abelsch ist.)
> Vielen Dank schonmal! :)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nur noch eine kleine Anmerkung: Du musst nicht zeigen, dass das neutrale Element in der Untergruppe ist. Das folgt automatisch.
Wenn du gezeigt hast, dass
$a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] U$ und
$a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U$
gilt, dann gilt doch
$a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a,a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a,a^{-1} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow aa^{-1}=e \in [/mm] U$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 28.03.2011 | | Autor: | chesn |
Danke für die Antworten! Glaube es jetzt sogar verstanden zu haben. ;)
Also um zu zeigen, dass $e [mm] \in [/mm] U, [mm] g^{-1} \in [/mm] U$ und $g,h [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] g*h [mm] \in [/mm] U$ muss ich einfach nur einsetzen?!
1.) $ e [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw e^{3} [/mm] = e $ (klar.)
2.) $ [mm] g^{-1} \in [/mm] U [mm] \gdw (g^{-1})^{3} [/mm] = e [mm] \gdw (g^{3})^{-1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] = e $
3.) $ g,h [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw (g*h)^{3} [/mm] = e [mm] \gdw [/mm] (g*h)*(g*h)*(g*h) = e [mm] \gdw [/mm] (g*g*g)*(h*h*h) = e $ (folgt aus assoziativität).
Weiter gilt wegen $ g,h [mm] \in [/mm] U: [mm] g^3 [/mm] = e $ und $ [mm] h^3=e [/mm] $, also $ [mm] g^3*h^3=e*e=e [/mm] $.
Passt das so alles??
Vielen Dank!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Danke für die Antworten! Glaube es jetzt sogar verstanden
> zu haben. ;)
> Also um zu zeigen, dass [mm]e \in U, g^{-1} \in U[/mm] und [mm]g,h \in U \Rightarrow g*h \in U[/mm]
> muss ich einfach nur einsetzen?!
>
> 1.) [mm]e \in U \gdw e^{3} = e[/mm] (klar.)
Stimmt. Aber das musst du wie weiter oben angemerkt gar nicht unbedingt zeigen.
> 2.) [mm]g^{-1} \in U \gdw (g^{-1})^{3} = e \gdw (g^{3})^{-1} = e^{-1} = e[/mm]
>
> 3.) [mm]g,h \in U \gdw (g*h)^{3} = e \gdw (g*h)*(g*h)*(g*h) = e \gdw (g*g*g)*(h*h*h) = e[/mm]
> (folgt aus assoziativität).
...und aus der Kommutativität!
> Weiter gilt wegen [mm]g,h \in U: g^3 = e[/mm] und [mm]h^3=e [/mm], also
> [mm]g^3*h^3=e*e=e [/mm].
Passt.
LG Lippel
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