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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 17.10.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass U=( [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \in SL_2(\IZ) [/mm] mit b und c gerade) eine Untergruppe von [mm] SL_2(\IZ) [/mm] ist. |
Hallo Leute,
bin jetzt einfach mal hergegangen und habe gesagt, da ja die 0 eine gerade Zahl ist, somit das Inverse in U liegt, außerdem hat ja jeder Matrix aus [mm] SL_2 [/mm] die Determinante 1, somit gilt auch das Inverse.
Soweit in Ordnung?
Jetzt habe ich aber ein Problem bei der Abgeschlossenheit:
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ae+bg & af+bh \\
ce+dg & cf+dh
\end{pmatrix}
[/mm]
Sowohl af+bh und ce+dg sind gerade, da die einzelnen Produkte gerade sind und somit abgeschlossen. Kann man das so machen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 17.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass U=( [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \in SL_2(\IZ)[/mm] mit b und c
> gerade) eine Untergruppe von [mm]SL_2(\IZ)[/mm] ist.
> Hallo Leute,
>
> bin jetzt einfach mal hergegangen und habe gesagt, da ja
> die 0 eine gerade Zahl ist, somit das Inverse in U liegt,
Hä ??
Du mußt zeigen, das mit [mm] A:=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \in [/mm] U auch [mm] A^{-1} [/mm] in U ist.
> außerdem hat ja jeder Matrix aus [mm]SL_2[/mm] die Determinante 1,
> somit gilt auch das Inverse.
>
> Soweit in Ordnung?
>
> Jetzt habe ich aber ein Problem bei der Abgeschlossenheit:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ae+bg & af+bh \\
ce+dg & cf+dh
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Sowohl af+bh und ce+dg sind gerade, da die einzelnen
> Produkte gerade sind und somit abgeschlossen. Kann man das
> so machen?
Die Abgeschlossenheit ist O.K.
FRED
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 17.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Naja, das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, die ist aber ein Element von U, da b=c=0 gerade sind und die 0 ebenfalls eine gerade Zahl ist.
Und Inversen gibt es in jedem Fall, da die [mm] SL_2 [/mm] die Determinanten 1 hat und somit zu jeder Matrix ein Inverses existiert.
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Hallo AntonK,
> Naja, das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, die
> ist aber ein Element von U, da b=c=0 gerade sind und die 0
> ebenfalls eine gerade Zahl ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und Inversen gibt es in jedem Fall, da die [mm]SL_2[/mm] die
> Determinanten 1 hat und somit zu jeder Matrix ein Inverses
> existiert.
Naja, die ist ja erstmal "nur" in [mm] $Sl_2(\IZ)$ [/mm]
Wieso ist denn die Inverse zu so einem [mm] $A=\pmat{a&2k\\2l&d}, k,l\in\IZ$ [/mm] auch in U?
Das musst du nachweisen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Sa 20.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ich denke ich habe es jetzt, danke euch.
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