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| Aufgabe | Sei die von E:= {(-2,-2),(1,3),(3,1))} erzeugt Untergruppe [mm] G:=\left\langle E \right\rangle [/mm] := [mm] \left\langle E \right\rangle_{\IZ^{2}}\subset\IZ^2
[/mm]
Finde F [mm] \subset\IZ^2 [/mm] mit #F=2 und G= [mm] \left\langle F \right\rangle [/mm] |
Ich hab mir E mal in ein Gitter eingezeichnet. Ich suche jetzt praktisch so ein F, das die gleichen Punkte trifft, aber nur aus 2 Elementen besteht, stimmts? Wie finde ich so was? Muss ich dazu irgendwie ausnutzen, dass es einmal den Punkt (3,1) und einmal den (1,3) gibt?
Danke für Ratschläge =)
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Ich hab mir das als Erzeugendensystem eines Vektorraums vorgestellt (wenn das Gitter gezeichnet ist, ist es verführerisch, sich das als Vektoren vorzustellen), dann sind diese drei linear abhängig, d.h. kein minimales Erzeugendensystem. Bei Vektorräumen ist es dann aber leicht, ich nehme einfach nur zwei der Vektoren und zeige, dass ich den dritten damit darstellen kann (also hat man ja schon beim Nachweis der linearen Abhängigkeit gemacht).
Was ich jetzt nicht weiß, ob und wenn ja wie man das auf die Gruppen überträgt. Aber vielleicht ist das eine Anregung, die du kreativ nutzen kannst.
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Der gebrachte Hinweis war schon der richtige. Die Gruppenoperation ist die Addition also kannst du dir wirklich alle Elemente als Linearkombination vorstellen.
[mm]a\cdot (-2,-2)+b\cdot (1,3)+c\cdot (3,1)[/mm] mit [mm]a,b,c\in\IZ[/mm]
Man könnte sogar die lineare Algebra verpulvern und darauf anwenden, solange du sicherstellst, dass deine "Gruppenerzeuger" tatsächlich aus [mm]\IZ\times \IZ[/mm] kommen.
Wie findet man [mm]\langle h,j\rangle=:F[/mm]? Entweder durch scharfes hinsehen (einfach mal in der gaußchen Zahlenebene die Gitterpunkte markieren) oder ähnlich zur Bestimmung von Basen des Raumes.
Beachte, dass wegen der Gruppeneigenschaft auch immer das additive Inverse in [mm]E[/mm] liegt.
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Danke euch beiden schon mal. Ich hab mir das jetzt noch mal neu in so ein Gitter gezeichnet, und glaube, eine mögliche Lösung gefunden zu haben.
Und zwar F:={(1,1),(1,3)}
Kann das sein? Wär schön, noch mal ein Feedback zu bekommen =)
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Das kannst du doch selbst testen!
Solange du deine angegebenen Elemente so verknüpfen kannst, sodass du die Erzeuger aus $E$ erhälst, ist alles richtig.
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