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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Sa 17.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wieviel Elemente hat die Untergruppe [mm] A_n =\{ \sigma \in \sigma_n | sgn(\sigma)=1\}
[/mm]
[mm] \sigma_n..Menge [/mm] der Bijektionen [mm] \{1,..,n\} [/mm] -> [mm] \{1,..,n\}
[/mm]
sgn: [mm] \sigma_N [/mm] -> [mm] \{-1,1\} [/mm] |
Allgeimen hat die Permutationsgruppe [mm] \sigma_n [/mm] genau n! Elemente.
und [mm] sgn(\tau) [/mm] = -1 für jede Transposition [mm] \tau \in \sigma_n
[/mm]
sgn(p) = +1, falls Permutation p gerade ist . Für jede Dratsellung
[mm] \tau_1 \circ ...\circ \tau_N [/mm] ist N gerade
Kann mir da wer weiterhelfen um die obigen Fakten zur einer Lösung zu verbinden^^?
Hab das auch hier gepostet: http://www.onlinemathe.de/forum/Alternierende-GruppeWieviel
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Die Gruppe hat genau [mm] $\frac{n!}{2}$ [/mm] Elemente.
Definiere dir dafür eine Menge $ [mm] B_n =\{ \sigma \in \sigma_n | sgn(\sigma)=-1\} [/mm] $ (Achtung: Das ist keine Gruppe, sondern erstmal nur irgendeine Menge).
Nun überlege dir eine bijektive Abbildung von [mm] $A_n$ [/mm] nach [mm] $B_n$ [/mm] und (mit ein wenig Argumentation deinerseits) folgt die Mächtigkeit von [mm] $A_n$.
[/mm]
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Die Gruppe hat genau [mm]\frac{n!}{2}[/mm] Elemente.
Zumindest für [mm] $n\ge [/mm] 2$. 
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 17.03.2012 | | Autor: | sissile |
$ [mm] B_n =\{ \sigma' \in \sigma_n | sgn(\sigma)=-1\} [/mm] $
$ [mm] A_n =\{ \sigma \in \sigma_n | sgn(\sigma)=1\} [/mm] $
Das [mm] img(B_n) [/mm] sowie das [mm] img(A_n) [/mm] bestehen aus 1 Element
[mm] \sigma' [/mm] = ungerade anzahl von Transpositionen
[mm] \sigma [/mm] = gerade anzahl von Transpositionen
Also ich muss zeigen,dass [mm] A_n [/mm] und [mm] B_n [/mm] gleichmächtig sind.(gleich viele Elemente haben)
Denn das würde heißen es gibt genauso viele geraden und ungeraden Permutationen.
Also hat [mm] A_n [/mm] genau genau n!/2 Elemente.
Kannst du mir nochmals helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Also ich muss zeigen,dass [mm]A_n[/mm] und [mm]B_n[/mm] gleichmächtig
> sind.(gleich viele Elemente haben)
> Denn das würde heißen es gibt genauso viele geraden und
> ungeraden Permutationen.
> Also hat [mm]A_n[/mm] genau genau n!/2 Elemente.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kannst du mir nochmals helfen?
Das Problem ist also, die Gleichmächtigkeit von [mm] A_n [/mm] und [mm] B_n [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 2$ zu zeigen?
Betrachte
[mm] $\Phi:A_n\to B_n, \sigma\mapsto \sigma\circ(1,2)$
[/mm]
und
[mm] $\Psi:B_n\to A_n, \sigma\mapsto \sigma\circ(1,2)$.
[/mm]
Zeige:
1. Diese beiden Abbildungen sind wohldefiniert (bilden also tatsächlich nach [mm] B_n [/mm] bzw. [mm] A_n [/mm] ab).
2. [mm] \Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_{A_n} [/mm] und [mm] \Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{B_n}.
[/mm]
Somit ist [mm] \Phi [/mm] eine Bijektion und daher wie gewünscht [mm] A_n [/mm] gleichmächtig zu [mm] B_n.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Betrachte
$ [mm] \Phi:A_n\to B_n, \sigma\mapsto \sigma\circ(1,2) [/mm] $
und
$ [mm] \Psi:B_n\to A_n, \sigma\mapsto \sigma\circ(1,2) [/mm] $.
Was meinst du mit (1,2)
Die Transposition [mm] \tau_{1,2} [/mm] vielleicht?
Aber wieso definierst du die abbildungen so?
[mm] \Phi(\sigma) [/mm] = [mm] \sigma \circ \tau_{1,2}
[/mm]
[mm] \Psi(\sigma')=\sigma' \circ \tau_{1,2}
[/mm]
2) Die Komposition, werte ich die auch [mm] \sigma [/mm] oder auch [mm] \sigma' [/mm] aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Was meinst du mit (1,2)
> Die Transposition [mm]\tau_{1,2}[/mm] vielleicht?
Genau.
> Aber wieso definierst du die abbildungen so?
> [mm]\Phi(\sigma)[/mm] = [mm]\sigma \circ \tau_{1,2}[/mm]
>
> [mm]\Psi(\sigma')=\sigma' \circ \tau_{1,2}[/mm]
Ich hätte genauso gut irgendeine andere feste Transposition [mm] \tau [/mm] anstelle von [mm] \tau_{1,2} [/mm] nehmen können. (Für n=2 ist dies jedoch die einzige Transposition.)
> 2) Die Komposition, werte ich die auch [mm]\sigma[/mm] oder auch
> [mm]\sigma'[/mm] aus?
? Hier kann ich dir nicht ganz folgen.
Zu zeigen ist:
[mm] \Psi(\Phi(\sigma))=\sigma [/mm] für alle [mm] $\sigma\in A_n$
[/mm]
und
[mm] \Phi(\Psi(\sigma'))=\sigma' [/mm] für alle [mm] $\sigma'\in B_n$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
okay., danke
> 1. Diese beiden Abbildungen sind wohldefiniert (bilden also tatsächlich nach $ [mm] B_n [/mm] $ bzw. $ [mm] A_n [/mm] $ ab).
> $ [mm] \Phi(\sigma) [/mm] $ = $ [mm] \sigma \circ \tau_{1,2} [/mm] $
> $ [mm] \Psi(\sigma')=\sigma' \circ \tau_{1,2} [/mm] $
Schau ich mir auf sgn an
[mm] sgn(\sigma \circ \tau_{1,2} [/mm] )= - [mm] sgn(\sigma)= [/mm] -1
[mm] \Phi(\sigma) \in B_N
[/mm]
[mm] sgn(\sigma' \circ \tau_{1,2})= [/mm] - [mm] sgn(\sigma')= [/mm] -(-1)=1
[mm] \Psi(\sigma') \in A_N
[/mm]
Passt das ?
> 2. $ [mm] \Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_{A_n} [/mm] $ und $ [mm] \Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{B_n}. [/mm] $
$ [mm] \Psi(\Phi(\sigma))=\Psi(\sigma \circ \tau_{1,2} [/mm] ) = [mm] \sigma \circ \tau_{1,2} \circ \tau_{1,2} [/mm] = [mm] \sigma \circ [/mm] id = [mm] \sigma
[/mm]
[mm] \Phi(\Psi(\sigma'))= \sigma' \circ \tau_{1,2} \circ \tau_{1,2} [/mm] = [mm] \sigma'
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > 1. Diese beiden Abbildungen sind wohldefiniert (bilden also
> tatsächlich nach [mm]B_n[/mm] bzw. [mm]A_n[/mm] ab).
> > [mm]\Phi(\sigma)[/mm] = [mm]\sigma \circ \tau_{1,2}[/mm]
>
> > [mm]\Psi(\sigma')=\sigma' \circ \tau_{1,2}[/mm]
>
> Schau ich mir auf sgn an
> [mm]sgn(\sigma \circ \tau_{1,2}[/mm] )= - [mm]sgn(\sigma)=[/mm] -1
> [mm]\Phi(\sigma) \in B_N[/mm]
> [mm]sgn(\sigma' \circ \tau_{1,2})=[/mm] -
> [mm]sgn(\sigma')=[/mm] -(-1)=1
> [mm]\Psi(\sigma') \in A_N[/mm]
>
> Passt das ?
>
> > 2. [mm]\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_{A_n}[/mm] und
> [mm]\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{B_n}.[/mm]
> $ [mm]\Psi(\Phi(\sigma))=\Psi(\sigma \circ \tau_{1,2}[/mm] ) =
> [mm]\sigma \circ \tau_{1,2} \circ \tau_{1,2}[/mm] = [mm]\sigma \circ[/mm] id
> = [mm]\sigma[/mm]
>
> [mm]\Phi(\Psi(\sigma'))= \sigma' \circ \tau_{1,2} \circ \tau_{1,2}[/mm]
> = [mm]\sigma'[/mm]
Alles richtig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
Ich danke dir ;))
LG
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