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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie: Ist [G : H] = 2, dann ist H ein Normalteiler in G. |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Leider weiß ich nicht was mit [G : H] gemeint ist. Hat es was mit "größte Zahl" oder so zu tun?
Wenn ich das klären könnte wäre mir schon sehr geholfen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Sa 13.11.2010 | | Autor: | hula |
Mit $\ [G:H]$ wird hier die Kardinalität der Linksnebenklassen bezeichnet. Also
[mm] [G:H] = | \{ gH | g \in G\}| [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Calculu |
Ok, vielen Dank für die schnelle Antwort.
Dann versuch ich mal damit weiter zu kommen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Calculu |
Also, ich hab mir jetzt die ganze Zeit Gedanken gemacht. Mir ist klar, dass H ein NT von G ist wenn aH = Ha wobei [mm] a\in [/mm] G. Aber hier müsste ich doch beweisen dass aH = 2. Richtig? Wenn ja, dann versteh ich nicht wo die 2 herkommt.Bzw was sie aussagt....
Bitte um Hilfe :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:02 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also, ich hab mir jetzt die ganze Zeit Gedanken gemacht.
> Mir ist klar, dass H ein NT von G ist wenn aH = Ha wobei
> [mm]a\in[/mm] G. Aber hier müsste ich doch beweisen dass aH = 2.
Nein. Du musst beweisen, dass $a H = H a$ ist. Nicht das $a H = 2$ ist. Das macht sowieso keinen Sinn, da 2 keine Teilmenge von $G$ ist, im Gegensatz zu $a H$.
Beachte, dass $H$ in $G$ genausoviele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen hat.
Sei $a [mm] \in [/mm] H$. Dann ist $a H = H = H a$.
Nun sei $a [mm] \in [/mm] G [mm] \setminus [/mm] H$. Kann $a H = H$ sein? oder $H a = H$?
Wenn nicht: was kann es sonst nur sein? Beachte, dass die Vereinigung aller Links-(/Rechts-)Nebenklassen gleich $G$ ist, und dass diese paarweise disjunkt sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Calculu |
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> Nun sei [mm]a \in G \setminus H[/mm]. Kann [mm]a H = H[/mm] sein? oder [mm]H a = H[/mm]?
>
> Wenn nicht: was kann es sonst nur sein? Beachte, dass die
> Vereinigung aller Links-(/Rechts-)Nebenklassen gleich [mm]G[/mm]
> ist, und dass diese paarweise disjunkt sind.
>
> LG Felix
Nein, aH kann dann nicht gleich H sein, da a nicht zwangsläufig in H enthalten sein muss. Was aber gilt ist: aH [mm] \subset [/mm] H oder?
Leider weiß ich immer noch nichts mit der 2 anzufangen... :-(
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Du hast 2 Linksnebenklassen (*), die eine ist H und die andere der Rest (meinetwegen H'). Wenn a nicht in H liegt, wo liegt es dann? Was musst du jetzt zeigen?
Kommst du damit vielleicht weiter?
(*) und zwei Rechtsnebenklassen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Calculu |
Wenn a nicht in H liegt dann liegt es in H' ! ?
Also muss ich zeigen, dass aH' [mm] \subset [/mm] H' für a [mm] \in [/mm] G ???
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Du solltest den Beitrag auch als Frage stellen.
> Wenn a nicht in H liegt dann liegt es in H' ! ?
> Also muss ich zeigen, dass aH' [mm]\subset[/mm] H' für a [mm]\in[/mm] G ???
Wenn [mm] $a\not\in [/mm] H$. Dann sind die Nebenklassen aH und Ha jeweils verschieden von H also stimmen sie mit dem Komplement H' überein. Daraus folgt alles (zu dieser Aufgabe).
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