Untergruppe einer Matrix < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die Menge der 3x3 Matrizen mit reellen Einträgen der Form
[mm] \pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
a) Man beweise, dass diese Menge U versehen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
b) Entscheide, ob diese Gruppe abelsch sit.
c) Bestimme alle endlichen Untergruppen von U. |
Hallo zusammen
a & b waren kein Problem. Aber wie löse ich den c?
H [mm] \subset [/mm] U heisst Untergruppe, wenn gilt:
1) a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] H
2) a [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] H
Aber wie muss ich jetzt konkret vorgehen?
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Hallo,
untersuche mal das Produkt
[mm] \pmat{ 1 & a_1 & b_1 \\ 0& 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1} *\pmat{1 & a_2 & b_2 \\ 0& 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
etwas näher. Damit sollte klar werden, dass es eher wenig endliche Untergruppen von U gibt...
EDIT: es reicht auch schon aus,
[mm] \pmat{ 1 & a & b \\ 0& 1 & c \\ 0 & 0 & 1}^n
[/mm]
für einige n zu betrachten und sich an den Satz von Lagrange (und hier: was gilt für die Ordnung eines beliebigen Elements, wenn eine Gruppe endlich ist?) zu erinnern.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Sa 08.02.2014 | | Autor: | hippias |
Als vielleicht weniger rechenintensive Variante zu Diophants Loesung diese Bemerkung: Sei $M$ Deine Matrix und $m$ ihr Minimalpolynom. Da $M-1$ als strikt obere Dreiecksmatrix nilpotent ist, gilt [mm] $m\vert (t-1)^{k}$ [/mm] fuer ein $k$. Hat $M$ endliche Ordnung, ist also [mm] $M^{n}= [/mm] 1$ fuer ein $n$, so ist ebenso [mm] $m\vert t^{n}-1$. [/mm] Nun ist aber leicht zu zeigen, dass [mm] $ggT((t-1)^{k}, t^{n}-1)= [/mm] t-1$. Daher $M-1= 0$.
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