Untergruppe eines Körpers < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien weiter
[mm] B:=\{\begin{pmatrix}
r & s \\
0 & t
\end{pmatrix}|s \in K,\quad r,t \in K^x\}\subseteq GL_2(K) [/mm] und [mm] w:={\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
(a) Zeigen Sie, dass B eine Untergruppe von [mm]GL_2(K)[/mm] ist.
(b) Sei [mm] b\in B[/mm] beliebig. Stellen Sie b als Produkt von Additionsmatrizen und invertierbaren Diagonalmatrizen dar. |
Hallo erstmal,
ich habe Schwierigkeiten mit oben stehender Aufgabe. Problem Nummer 1 ist schonmal, dass ich mit der Schreibweise der Aufgabe nicht klar komme. Was bedeutet das [mm]r,t\in K^x[/mm] ? Was hab ich mir unter dem K hoch x vorzustellen? Oder besser gesagt inwiefern unterscheiden sich r und s bzw. t und s.
Ist [mm] GL_2(K) [/mm] die Menge aller invertierbaren 2x2 Matrizen? Ich hab irgendwie Probleme damit, dass r,t nicht Elemente der selben Menge s sind.
Tut mir Leid, dass ich meine Fragen nicht etwas konkreter stellen kann. Vielleicht würde mir schon ein ausformulieren der Definition von B helfen.
Wäre für ein wenig Aufklärung sehr dankbar!
Gruss
Ich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein Körper und seien weiter
> [mm]B:=\{\begin{pmatrix}
r & s \\
0 & t
\end{pmatrix}|s \in K,\quad r,t \in K^x\}\subseteq GL_2(K)[/mm]
> und [mm][red][b]Eingabefehler:[/b] "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)[/red]
w:=[red][b]{[/b][/red]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
(a) Zeigen Sie, dass B eine Untergruppe von [mm][mm]GL_2(K)[/mm][/mm] ist.
> (b) Sei [mm][mm]b\in B[/mm][/mm] beliebig. Stellen Sie b als Produkt von Additionsmatrizen und invertierbaren Diagonalmatrizen dar.[/mm][/mm][/mm]
> Problem Nummer 1 ist schonmal, dass ich mit der Schreibweise der Aufgabe nicht klar komme. Was bedeutet das [mm]r,t\in K^x[/mm] ? Was hab ich mir unter dem K hoch x vorzustellen? Oder besser gesagt inwiefern unterscheiden sich r und s bzw. t und s. [/mm][/mm][/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mit [mm] K^x [/mm] (meist schreibt man für die Einheitengruppe: K*) ist hier die Menge der invertierbaren Elemente von K gemeint, also K \ {0}.
Auf der Diagonalen ist das in diesem Fall wichtig, denn es ist
> [mm][mm][mm]Ist [mm]GL_2(K)[/mm] die Menge aller invertierbaren 2x2 Matrizen.
Bei Aufgabe a) kommt es also darauf an, zu zeigen, daß
B mit der Matrizenmultiplikation eine Untergruppe von [mm] GL_2(K) [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Di 19.12.2006 | | Autor: | wiegehtdas |
Danke für die schnelle Hilfe!
Gruss
Ich
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