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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Do 02.07.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
a) [mm] \{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \} [/mm] ist eine zu [mm] \IZ_{4} [/mm] isomorphe Untergruppe von [mm] (\IZ_{8},+) [/mm]
b) [mm] \{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \} [/mm] ist eine zu [mm] \IZ_{4} [/mm] isomorphe Unterring von [mm] (\IZ_{8},+) [/mm] |
zu a)
Muss ich jetzt nochmal extra die Untergruppenkriterien zeigen?
Bei der Isomorphie möchte ich einen Isomorphismus angeben.
Und zwar:
[mm] \phi :\begin{cases} (\IZ_{4},+) \to (\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \},+) \\ [a]_{4} \mapsto [2a]_{8} \end{cases}
[/mm]
somit ist zu zeigen: [mm] \phi [/mm] ist eine Homomorphismus, der injektiv und surjektiv ist.
Homomorphismus: Es muss gelten [mm] \phi(a+b) [/mm] = [mm] \phi(a)+ \phi(b)
[/mm]
[mm] \phi(a+b)=[2(a+b)]_{8}=[2a+2b]_{8}=[2a]_{8}+[2b]_{8}=\phi(a)+\phi(b)
[/mm]
injektiv: Es muss gelten [mm] \phi(a)=\phi(b) \Rightarrow[/mm] [mm] a=b [/mm]
[mm] [2a]_{8}=[2b]_{8}
[/mm]
[mm] [2]_{8} \* [a]_{8}=[2]_{8} \* [b]_{8} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] a=b [/mm]
surjektiv: Urbild zu [mm] [2a]_{8}=[a]_{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Isomorphie
zu b)
Auch hier wieder die Frage: Muss ich noch zeigen, dass es ein Unterring ist?
Ansonsten zur Isomorphie:
Ich möchte wieder einen Isomorphismus angeben. Und zwar den selben wie oben:
[mm] \phi :\begin{cases} (\IZ_{4},+) \to (\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \},+) \\ [a]_{4} \mapsto [2a]_{8} \end{cases}
[/mm]
Ein Homomorphismus bzgl. + liegt vor (siehe a))
Nun muss noch ein Homomorphismus bzgl. [mm] \* [/mm] vorliegen.
Dafür habe ich ein Gegenbeispiel:
[mm] \phi(2*3)=[2\*6]_{8}=[12]_{8}=[4]_{8}
[/mm]
[mm] \phi(2)*\phi(3)=[4]_{8} \* [6]_{8}=[24]_{8}=[0]_{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(2*3) \not= \phi(2)*\phi(3)
[/mm]
Somit kein Isomorphismus
Ist das so richtig?
Liebe Grüße
riju
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 02.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo riju!
> Beweisen oder widerlegen Sie:
> a) [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> ist eine zu [mm]\IZ_{4}[/mm] isomorphe Untergruppe von [mm](\IZ_{8},+)[/mm]
> zu a)
> Muss ich jetzt nochmal extra die Untergruppenkriterien
> zeigen?
Wenn du nicht anders begründen kannst, dass eine Untergruppe vorliegt, müsstest du das wohl.
Dazu wäre es wohl hilfreich, zunächst
[mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}=\{\overline{2n}\;|\;n\in\IZ\}$
[/mm]
zu zeigen (mit [mm] $\overline{m}$:=m+8\IZ [/mm] für [mm] $m\in\IZ$), [/mm] um sich Fallunterscheidungen zu sparen.
> Bei der Isomorphie möchte ich einen Isomorphismus
> angeben.
> Und zwar:
> [mm]\phi :\begin{cases} (\IZ_{4},+) \to (\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \},+) \\ [a]_{4} \mapsto [2a]_{8} \end{cases}[/mm]
Gute Idee.
Warum ist [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert?
Da sind zwei Dinge zu prüfen:
1. Gilt [mm] $[2a]_8\in\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IZ$?
[/mm]
2. Gilt [mm] $[2a]_8=[2b]_8$ [/mm] für alle [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $[a]_4=[b]_4$?
[/mm]
> somit ist zu zeigen: [mm]\phi[/mm] ist eine Homomorphismus, der
> injektiv und surjektiv ist.
Ja.
> Homomorphismus: Es muss gelten [mm]\phi(a+b)[/mm] = [mm]\phi(a)+ \phi(b)[/mm]
Dies muss für alle [mm] $a,b\in\IZ_4$ [/mm] gelten.
Deiner Rechnung entnehme ich, dass du aber [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] betrachtest und [mm] $\phi([a]_4+[b]_4)=\phi([a]_4)+\phi([b]_4)$ [/mm] zeigen möchtest.
> [mm]\phi(a+b)=[2(a+b)]_{8}=[2a+2b]_{8}=[2a]_{8}+[2b]_{8}=\phi(a)+\phi(b)[/mm]
Am Anfang muss es dementsprechend [mm] $\phi([a]_4+[b]_4)=\phi([a+b]_4)=\ldots$ [/mm] und am Ende [mm] $\ldots=\phi([a]_4)+\phi([b]_4)$ [/mm] heißen.
> injektiv: Es muss gelten [mm]\phi(a)=\phi(b) \Rightarrow[/mm] [mm]a=b[/mm]
Wieder für alle [mm] $a,b\in\IZ_4$.
[/mm]
Für (beliebig vorgegebene) [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] ist also
[mm] $\phi([a]_4)=\phi([b]_4)$ $\Rightarrow$ $[a]_4=[b]_4$
[/mm]
zu zeigen.
Gelte also [mm] $\phi([a]_4)=\phi([b]_4)$ [/mm] für gewisse [mm] $a,b\in\IZ$, [/mm] d.h.
> [mm][2a]_{8}=[2b]_{8}[/mm]
> [mm][2]_{8} \* [a]_{8}=[2]_{8} \* [b]_{8}[/mm]
Ja.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a=b[/mm]
Nein.
Gegenbeispiel: $a=0$, $b=4$.
Wäre [mm] $\IZ_8$ [/mm] ein Integritätsring, könntest du aus [mm] $[2]_{8} \* [a]_{8}=[2]_{8} \* [b]_{8}$ [/mm] auf [mm] $[a]_8=[b]_8$ [/mm] schließen, aber [mm] $\IZ_8$ [/mm] ist kein Integritätsring.
Und aus [mm] $[a]_8=[b]_8$ [/mm] ließe sich immer noch nicht auf $a=b$ schließen.
Wir benötigen aber auch gar nicht $a=b$, sondern nur [mm] $[a]_4=[b]_4$.
[/mm]
Kannst du [mm] $[2a]_8=[2b]_8$ [/mm] und die zu zeigende Aussage [mm] $[a]_4=[b]_4$ [/mm] jeweils äquivalent ausdrücken?
(Wann stimmen die Restklassen zweier ganzer Zahlen überein?)
> surjektiv: Urbild zu [mm][2a]_{8}=[a]_{4}[/mm]
Schreibe lieber: Für alle [mm] $a\in\IZ$ [/mm] ist [mm] $[a]_4$ [/mm] ein [mm] $\phi$-Urbild [/mm] zu [mm] $[2a]_8$.
[/mm]
Und alle Elemente von [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] haben die Gestalt [mm] $[2a]_8$ [/mm] für ein [mm] $a\in\IZ$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Isomorphie
Alternative schnellere Vorgehensweise (wenn man denn drauf kommt...):
Betrachte den Gruppenhomomorphismus
[mm] $\phi'\colon\IZ\to\IZ_8,\quad a\mapsto [2a]_8$.
[/mm]
Rechne nach, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.
Zeige
[mm] $Kern(\phi')=4\IZ$
[/mm]
und
[mm] $Bild(\phi')=\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $\IZ_8$.
[/mm]
Nach dem Homomorphiesatz sind
[mm] $\IZ/Kern(\phi')=\IZ/4\IZ=\IZ_4$
[/mm]
und
[mm] $Bild(\phi')=\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$
[/mm]
als Gruppen isomorph.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Do 02.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Beweisen oder widerlegen Sie:
> b) [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> ist eine zu [mm]\IZ_{4}[/mm] isomorphe Unterring von [mm](\IZ_{8},+)[/mm]
> Auch hier wieder die Frage: Muss ich noch zeigen, dass es ein Unterring ist?
Du möchtest die unter b) genannte Aussage ja offensichtlich widerlegen (was eine gute Idee ist!).
Du musst also zeigen, dass
[mm] "$\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] bildet einen Unterring von [mm] $\IZ_8$ [/mm] und dieser ist zu [mm] $\IZ_4$ [/mm] isomorph."
falsch ist.
Es würde dazu genügen zu zeigen, dass [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] gar kein Unterring von [mm] $\IZ_8$ [/mm] ist.
Enthalten bei euch Ringe immer ein Einselement? Da sind nämlich unterschiedliche Definitionen im Umlauf...
Wenn Ringe bei euch immer ein Einselement enthalten, kannst du tatsächlich zeigen, dass [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] gar kein Unterring von [mm] $\IZ_8$ [/mm] bildet.
Anderenfalls könntest du dir Überlegungen zur Unterring-Eigenschaft wie folgt ersparen: Unterscheide die Fälle
1. [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] ist kein Unterring von [mm] $\IZ_8$
[/mm]
2. [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] ist ein Unterring von [mm] $\IZ_8$.
[/mm]
Im Fall 1. musst du nichts weiter tun, um die Aussage aus der Aufgabenstellung zu widerlegen.
Es genügt somit, den Fall 2. zu betrachten.
> Ansonsten zur Isomorphie:
> Ich möchte wieder einen Isomorphismus angeben. Und zwar
> den selben wie oben:
> [mm]\phi :\begin{cases} (\IZ_{4},+) \to (\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \},+) \\ [a]_{4} \mapsto [2a]_{8} \end{cases}[/mm]
>
> Ein Homomorphismus bzgl. + liegt vor (siehe a))
> Nun muss noch ein Homomorphismus bzgl. [mm]\*[/mm] vorliegen.
> Dafür habe ich ein Gegenbeispiel:
>
> [mm]\phi(2*3)=[2\*6]_{8}=[12]_{8}=[4]_{8}[/mm]
> [mm]\phi(2)*\phi(3)=[4]_{8} \* [6]_{8}=[24]_{8}=[0]_{8}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi(2*3) \not= \phi(2)*\phi(3)[/mm]
> Somit kein Isomorphismus
Das ist korrekt, aber nicht geeignet, zu zeigen, dass [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] nicht isomorph sind:
Es könnte schließlich eine andere Abbildung als [mm] $\phi$ [/mm] geben, die einen Ring-Isomorphismus zwischen [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] darstellt.
Tatsächlich kann es das nicht, aber genau das ist zu zeigen.
Wären [mm] $\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] als Ringe isomorph, würden sie in "allen wesentlichen Ringeigenschaften" übereinstimmen.
Wie sieht es in den beiden Ringen z.B. mit der Existenz von Einselementen aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 02.07.2015 | | Autor: | riju |
> > Beweisen oder widerlegen Sie:
> > b) [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> > ist eine zu [mm]\IZ_{4}[/mm] isomorphe Unterring von [mm](\IZ_{8},+)[/mm]
>
>
> > Auch hier wieder die Frage: Muss ich noch zeigen, dass es
> ein Unterring ist?
> Du möchtest die unter b) genannte Aussage ja
> offensichtlich widerlegen (was eine gute Idee ist!).
>
> Du musst also zeigen, dass
>
> "[mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> bildet einen Unterring von [mm]\IZ_8[/mm] und dieser ist zu [mm]\IZ_4[/mm]
> isomorph."
>
> falsch ist.
>
> Es würde dazu genügen zu zeigen, dass [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> gar kein Unterring von [mm]\IZ_8[/mm] ist.
>
> Enthalten bei euch Ringe immer ein Einselement? Da sind
> nämlich unterschiedliche Definitionen im Umlauf...
>
> Wenn Ringe bei euch immer ein Einselement enthalten, kannst
> du tatsächlich zeigen, dass [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> gar kein Unterring von [mm]\IZ_8[/mm] bildet.
>
> Anderenfalls könntest du dir Überlegungen zur
> Unterring-Eigenschaft wie folgt ersparen: Unterscheide die
> Fälle
> 1. [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> ist kein Unterring von [mm]\IZ_8[/mm]
> 2. [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> ist ein Unterring von [mm]\IZ_8[/mm].
>
> Im Fall 1. musst du nichts weiter tun, um die Aussage aus
> der Aufgabenstellung zu widerlegen.
>
> Es genügt somit, den Fall 2. zu betrachten.
>
>
> > Ansonsten zur Isomorphie:
> > Ich möchte wieder einen Isomorphismus angeben. Und
> zwar
> > den selben wie oben:
> > [mm]\phi :\begin{cases} (\IZ_{4},+) \to (\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \},+) \\ [a]_{4} \mapsto [2a]_{8} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Ein Homomorphismus bzgl. + liegt vor (siehe a))
> > Nun muss noch ein Homomorphismus bzgl. [mm]\*[/mm] vorliegen.
> > Dafür habe ich ein Gegenbeispiel:
> >
> > [mm]\phi(2*3)=[2\*6]_{8}=[12]_{8}=[4]_{8}[/mm]
> > [mm]\phi(2)*\phi(3)=[4]_{8} \* [6]_{8}=[24]_{8}=[0]_{8}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \phi(2*3) \not= \phi(2)*\phi(3)[/mm]
> > Somit kein
> Isomorphismus
> Das ist korrekt, aber nicht geeignet, zu zeigen, dass [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> und [mm]\IZ_4[/mm] nicht isomorph sind:
> Es könnte schließlich eine andere Abbildung als [mm]\phi[/mm]
> geben, die einen Ring-Isomorphismus zwischen [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> und [mm]\IZ_4[/mm] darstellt.
> Tatsächlich kann es das nicht, aber genau das ist zu
> zeigen.
>
>
> Wären [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> und [mm]\IZ_4[/mm] als Ringe isomorph, würden sie in "allen
> wesentlichen Ringeigenschaften" übereinstimmen.
>
> Wie sieht es in den beiden Ringen z.B. mit der Existenz von
> Einselementen aus?
Ich habe jetzt für die Untergruppe [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm] eine Verknüpfungstafel bzgl. der Multiplikation erstellt (allerdings weiß ich nicht wie ich die hier im Forum darstellen soll)
Und jetzt sehe ich, dass es da kein Einselement gibt. Allerdings gibt es in [mm] \IZ_{4} [/mm] ein Einselement. Somit können die beiden nicht isomorph sein. Sonst müssten beide ein Einselement haben. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 03.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe jetzt für die Untergruppe [mm]\{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6} \}[/mm]
> eine Verknüpfungstafel bzgl. der Multiplikation erstellt
> (allerdings weiß ich nicht wie ich die hier im Forum
> darstellen soll)
>
> Und jetzt sehe ich, dass es da kein Einselement gibt.
> Allerdings gibt es in [mm]\IZ_{4}[/mm] ein Einselement. Somit
> können die beiden nicht isomorph sein. Sonst müssten
> beide ein Einselement haben. Richtig?
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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