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| Aufgabe | | Es sei p eine Primzahl. Beweisen Sie dass [mm] \{a/b | a, b \in \IZ, p teilt nicht b \} [/mm] eine Untergruppe von [mm] (\IQ, [/mm] +) ist. |
[mm] T:=\{a/b | a, b \in \IZ, p teilt nicht b \}
[/mm]
ZZ.: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] T gilt x+(-y) [mm] \in [/mm] T
x= a/b mit p teilt nicht b
y= c/d mit p teilt nicht d
für a,b,c,d [mm] \in \IZ
[/mm]
x + (-y) = a/b -c/d = [mm] \frac{ad-bc}{bd}
[/mm]
ad-bc [mm] \in \IZ
[/mm]
Noch Zuzeigen p teilt nicht bd
Wenn p nicht in der Primfaktorzerlegung von b und nicht in der Primfaktorzerlegung von d ist, kann es auch nicht in der Primfaktorzerlegung von bd sein.
[mm] \frac{ad-bc}{bd} \in [/mm] T
Passt das?
T [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Wie zeige ich das allgemein, da ja die Primzahl p beliebig aber fix gewählt wird.
lg therese
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moin,
> x + (-y) = a/b -c/d = [mm]\frac{ad-bc}{bd}[/mm]
> ad-bc [mm]\in \IZ[/mm]
> Noch Zuzeigen p teilt nicht bd
> Wenn p nicht in der Primfaktorzerlegung von b und nicht in
> der Primfaktorzerlegung von d ist, kann es auch nicht in
> der Primfaktorzerlegung von bd sein.
> [mm]\frac{ad-bc}{bd} \in[/mm] T
>
> Passt das?
Kennst du die Definition eines primen Elements?
Mit der Definition ist das etwas schöner als wenn du mit der Primfaktorzerlegung arbeitest.
Sonst sieht das aber gut aus.
> T [mm]\not= \emptyset[/mm]
> Wie zeige ich das allgemein, da ja die
> Primzahl p beliebig aber fix gewählt wird.
Überlege dir eine ganze Zahl $b$, die von keiner einzigen Primzahl geteilt wird. ;)
lg
Schadow
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> Kennst du die Definition eines primen Elements?
Ich keinne nur prime Restklassen.
Könntest du mir die Def. sagen, damit ich weiß was du genau meinst?
> Überlege dir eine ganze Zahl $ b $, die von keiner einzigen Primzahl geteilt wird. ;)
b=1
also sind [mm] \IZ \subset [/mm] T
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> > Kennst du die Definition eines primen Elements?
> Ich keinne nur prime Restklassen.
> Könntest du mir die Def. sagen, damit ich weiß was du
> genau meinst?
Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Element $p [mm] \in [/mm] R$ heißt prim, falls $p$ keine Einheit ist und aus $p [mm] \mid [/mm] ab$ entweder $p [mm] \mid [/mm] a$ oder $p [mm] \mid [/mm] b$ folgt für alle $a,b [mm] \in [/mm] R$.
Das heißt also wenn $p$ ein Produkt teilt, so muss es bereits einen der Faktoren teilen.
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> > Überlege dir eine ganze Zahl [mm]b [/mm], die von keiner einzigen
> Primzahl geteilt wird. ;)
> b=1
> also sind [mm]\IZ \subset[/mm] T
genau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Jap das kenne ich, ;))
Danke fürs Korrigieren,
Liebe Grüße..therese
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