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| Aufgabe | | Sei [mm] \mu: A\to [/mm] B ein Homomorphismus von Gruppen. [mm] A_{1} [/mm] sei eine Untergruppe von A. Zeige, dass [mm] \mu(A_{1}) [/mm] eine Untergruppe von B ist. |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich derzeit mit Gruppen, Ringen und Körpern. Ich verstehe die Grundbegriffe, abes es wird mir manchmal zu abstrakt.
Hier ist mein Gedankengang:
Wir haben 2 Gruppen (A,*) und [mm] (B,\*) [/mm] und eine Abbildung [mm] \mu [/mm] so, dass es einen Homomorphimus von Gruppen gibt, d.h. [mm] \mu(a*b) [/mm] = [mm] \mu(a) \* \mu(b). [/mm] (*)
Die Strukturen werden erhalten.
Zu zeigen ist, dass [mm] \mu(A_{1}) [/mm] eine Untergruppe von B.
Eigenschaften einer Untergruppe:
1) es darf keine leere Menge sein
2) a,b [mm] \in [/mm] G, dann auch a*b [mm] \in [/mm] G
3) a [mm] \in [/mm] G, dann auch [mm] a^{-1} \in [/mm] G (Inverse)
Also meine Überlegungen:
1) Da [mm] A_{1} [/mm] eine Untergruppe von A ist, ist diese auch nicht leer. Jedes Element von A wird mit der Abbildung in die Gruppe B "umgesetzt", d. h. [mm] \mu (A_{1}) [/mm] existiert und ist keine leere Menge.
2) a,b [mm] \in A_{1} [/mm] => a*b [mm] \in A_{1}.
[/mm]
[mm] \mu [/mm] (a), [mm] \mu [/mm] (b) [mm] \in \mu(A_{1}) [/mm] => [mm] \mu(a) \* \mu(b) \in \mu(A_{1}) [/mm]
[mm] \mu [/mm] (a*b) = [mm] \mu(a) \* \mu(b)
[/mm]
Da es ein Homomorphismus ist und die Formel (*) gilt, ist automatisch [mm] \mu(a) \* \mu(b) \in \mu(A_{1}.
[/mm]
3.) Das neutale Element von [mm] A_{1} [/mm] wird auf das neutrale Element von [mm] \mu(A_{1}) [/mm] projiziert.
e [mm] \to \mu(e)
[/mm]
[mm] a^{-1}*a [/mm] =e (da [mm] A_{1} [/mm] eine Gruppe ist) => [mm] \mu(a^{-1}) \* \mu(a) [/mm] = [mm] \mu(e)
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] \mu(a^{-1}) [/mm] für jedes [mm] \mu(a) [/mm] das Inverse ist.
Und damit wäre [mm] \mu(A_{1}) [/mm] eine Untergruppe von B.
Meine Frage nun: Stimmt das? Reicht das als Beweis? Es erscheint mir zwar logisch, ich kann es aber mathematisch schlecht ausdrücken. Was kann man besser, klarer machen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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> Sei [mm]\mu: A\to[/mm] B ein Homomorphismus von Gruppen. [mm]A_{1}[/mm] sei
> eine Untergruppe von A. Zeige, dass [mm]\mu(A_{1})[/mm] eine
> Untergruppe von B ist.
>
> Hier ist mein Gedankengang:
>
> Wir haben 2 Gruppen (A,*) und [mm](B,\*)[/mm] und eine Abbildung
> [mm]\mu[/mm] so, dass es einen Homomorphimus von Gruppen gibt, d.h.
> [mm]\mu(a*b)[/mm] = [mm]\mu(a) \* \mu(b).[/mm] (*)
>
> Die Strukturen werden erhalten.
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]\mu(A_{1})[/mm] eine Untergruppe von B.
>
> Eigenschaften einer Untergruppe:
>
> 1) es darf keine leere Menge sein
> 2) a,b [mm]\in[/mm] G, dann auch a*b [mm]\in[/mm] G
> 3) a [mm]\in[/mm] G, dann auch [mm]a^{-1} \in[/mm] G (Inverse)
Hallo,
ich finde, daß Du Dir alles sinnvoll und richtig überlegt hast.
Einges würde ich etwas anders aufschreiben, aber die überlegungen sind in Ordnung.
>
>
> Also meine Überlegungen:
>
> 1) Da [mm]A_{1}[/mm] eine Untergruppe von A ist, ist diese auch
> nicht leer. Jedes Element von A wird mit der Abbildung in
> die Gruppe B "umgesetzt", d. h. [mm]\mu (A_{1})[/mm] existiert und
> ist keine leere Menge.
Ich würde hier gleich mit dem neutralen Element argumentieren:
[mm] A_1 [/mm] ist nichtleer, weil es als Untergruppe das neutrale Element e von A enthält. Folglich ist [mm] \mu [/mm] (e) [mm] \in \mu (A_{1}) [/mm] und somit [mm] \mu (A_{1}) [/mm] nichtleer.
>
> 2) a,b [mm]\in A_{1}[/mm] => a*b [mm]\in A_{1}.[/mm]
> [mm]\mu[/mm] (a), [mm]\mu[/mm] (b)
> [mm]\in \mu(A_{1})[/mm] => [mm]\mu(a) \* \mu(b) \in \mu(A_{1})[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] (a*b) = [mm]\mu(a) \* \mu(b)[/mm]
>
> Da es ein Homomorphismus ist und die Formel (*) gilt, ist
> automatisch [mm] \mu(a) \* \mu(b) \in \mu(A_{1}.
[/mm]
Hier würde ich mir zwei Elemente b_1und [mm] b_2 [/mm] aus [mm] \mu (A_{1}) [/mm] hernehmen.
Seien [mm] b_1, b_2 \in \mu (A_{1}) [/mm] .
Dann gibt es [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 \in A_1 [/mm] mit [mm] \mu (a_1)=b_1 [/mm] und [mm] \mu (a_2)=b_2.
[/mm]
Somit ist [mm] b_1*b_2=\mu (a_1)*\mu (a_2)
[/mm]
[mm] =\mu (a_1*a_2) [/mm] denn [mm] \mu [/mm] ist Homomorphismus
Da [mm] A_1 [/mm] Gruppe, ist [mm] a_1*a_2 \in A_1, [/mm] also [mm] b_1*b_2=\mu (a_1*a_2) \in \mu (A_1)
[/mm]
>
>
> 3.) Das neutale Element von [mm]A_{1}[/mm] wird auf das neutrale
> Element von [mm]\mu(A_{1})[/mm] projiziert.
>
> e [mm]\to \mu(e)[/mm]
>
>
> [mm]a^{-1}*a[/mm] =e (da [mm]A_{1}[/mm] eine Gruppe ist) => [mm]\mu(a^{-1}) \* \mu(a)[/mm]
> = [mm]\mu(e)[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]\mu(a^{-1})[/mm] für jedes [mm]\mu(a)[/mm] das Inverse
> ist.
Sei b [mm] \in \mu (A_1). [/mm] Dann gibt es ein a [mm] \in A_1 [/mm] mit [mm] b=\mu [/mm] (a)
Da [mm] A_1 [/mm] Gruppe, ist für jedes a [mm] \in A_1 [/mm] auch [mm] a^{-1} \in A_1.
[/mm]
Also ist [mm] \mu (a^{-1}) \in \mu (A_1).
[/mm]
Es ist [mm] b*\mu (a^{-1})= \mu [/mm] (a) * [mm] \mu (a^{-1})=\mu (a*a^{-1}) [/mm] (wg. Homomorphismus)
= [mm] \mu(e)
[/mm]
Da [mm] \mu [/mm] Homomorphismus, ist [mm] \mu(e) [/mm] das neutrale Element in B bzw. [mm] \mu (A_1), [/mm] und somit ist [mm] \mu (a^{-1})\in \mu (A_1) [/mm] das inverse Element zu b.
Gruß v. Angela
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> Und damit wäre [mm]\mu(A_{1})[/mm] eine Untergruppe von B.
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> Meine Frage nun: Stimmt das? Reicht das als Beweis? Es
> erscheint mir zwar logisch, ich kann es aber mathematisch
> schlecht ausdrücken. Was kann man besser, klarer machen?
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> Vielen Dank!
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> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
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