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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 18.12.2006 | | Autor: | unwanted |
| Aufgabe | | H und K seien Untergruppen von G. Man zeige, dass dann auch H [mm] \cap [/mm] K eine Untergruppe von G ist. |
Hallo and alle! :)
Ich bin gerade dabei mich mit dieser Aufgabe zu beschäftigen, ich komme aber alleine nicht weit.
Um zu zeigen, dass H [mm] \cap [/mm] K auch eine Untergruppe von G ist, muss ich dann nicht erst zeigen, dass H [mm] \cap [/mm] K abgeschlossen ist? und wie mache ich das?
Ich habe immer Probleme mit der Theorie, an einem Beispiel wäre das alles schon einfacher.
Also wenn H [mm] \cap [/mm] K abgeschlossen ist muss ich zeigen, dass wenn a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K dann ist auch ab [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K und wenn a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K dann ist auch [mm] a^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K
ist das so richtig? und wie zeige ich das?
danke!
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> H und K seien Untergruppen von G. Man zeige, dass dann auch
> H [mm]\cap[/mm] K eine Untergruppe von G ist.
> Um zu zeigen, dass H [mm]\cap[/mm] K auch eine Untergruppe von G
> ist, muss ich dann nicht erst zeigen, dass H [mm]\cap[/mm] K
> abgeschlossen ist?
Hallo,
ganz genau. Und noch,daß H [mm] \cap [/mm] K nichtleer ist. (Das ist sehr einfach - welches Element ist in jeder Gruppe? - und sehr wichtig.)
> Also wenn H [mm]\cap[/mm] K abgeschlossen ist muss ich zeigen, dass
> wenn a,b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K dann ist auch ab [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K und
> wenn a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K dann ist auch [mm]a^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
>
> ist das so richtig?
Goldrichtig.
Jetzt müssen wir nur noch überlegen, wie Du das zeigen kannst.
Was bedeutet es denn, wenn a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K ?
Das bedeutet: a [mm] \in [/mm] H und a [mm] \in [/mm] K.
Über diese beiden Mengen weißt Du ziemlich viel: es sind ja (Unter-)Gruppen.
In welchen Mengen liegt also [mm] a^{-1}?
[/mm]
Nun nimm Dir b [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K. In welchen Mengen liegt b? Und in welchen Mengen liegt ab?
Klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 18.12.2006 | | Autor: | unwanted |
> > H und K seien Untergruppen von G. Man zeige, dass dann auch
> > H [mm]\cap[/mm] K eine Untergruppe von G ist.
>
>
> > Um zu zeigen, dass H [mm]\cap[/mm] K auch eine Untergruppe von G
> > ist, muss ich dann nicht erst zeigen, dass H [mm]\cap[/mm] K
> > abgeschlossen ist?
>
> Hallo,
>
> ganz genau. Und noch,daß H [mm]\cap[/mm] K nichtleer ist. (Das ist
> sehr einfach - welches Element ist in jeder Gruppe? - und
> sehr wichtig.)
>
du meinst das neutrale Element? kann die Schnittmenge überhaupt leer sein?
> > Also wenn H [mm]\cap[/mm] K abgeschlossen ist muss ich zeigen, dass
> > wenn a,b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K dann ist auch ab [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K und
> > wenn a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K dann ist auch [mm]a^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
> >
> > ist das so richtig?
>
> Goldrichtig.
>
> Jetzt müssen wir nur noch überlegen, wie Du das zeigen
> kannst.
>
> Was bedeutet es denn, wenn a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K ?
> Das bedeutet: a [mm]\in[/mm] H und a [mm]\in[/mm] K.
> Über diese beiden Mengen weißt Du ziemlich viel: es sind
> ja (Unter-)Gruppen.
>
> In welchen Mengen liegt also [mm]a^{-1}?[/mm]
>
kann man das so sagen?
a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] H , a [mm] \in [/mm] K , [mm] a^{-1} \in [/mm] H , [mm] a^{-1} \in [/mm] K [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K
> Nun nimm Dir b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K. In welchen Mengen liegt b? Und
> in welchen Mengen liegt ab?
>
und dann für b und ab...
b [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K , b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \in [/mm] K
und weil a [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K und b [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K
und ist das damit dann schon gezeigt, dass H [mm] \cap [/mm] K auch eine Untergruppe von G ist?
vielen dank schonmal :)
> Klar?
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> > > H und K seien Untergruppen von G. Man zeige, dass dann auch
> > > H [mm]\cap[/mm] K eine Untergruppe von G ist.
> >
> >
> > ,daß H [mm]\cap[/mm] K nichtleer ist.
> du meinst das neutrale Element? kann die Schnittmenge
> überhaupt leer sein?
In diesem Fall natürlich nicht, weil wir es mit Untergruppen zu tun haben. Es ist trotzdem als Fakt erwähnenswert. Ohne Gedöns drumherum.
Prinzipiell, wenn man es einfach mit Teilmengen zu tun hat, kann es passieren, daß man die Gültigkeit der allerschönsten Untergruppeneigenschaften nachweist - um irgendwann festzustellen, daß alles für die Katz ist, weil die Menge gar kein Element enthält.
> kann man das so sagen?
>
> a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] H
und a [mm]\in[/mm] K .
Weil H und K (Unter-)Gruppen sind, ist
>[mm]a^{-1} \in[/mm] H
und
> [mm]a^{-1} \in[/mm] K [mm] \Rightarrow a^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
> > Nun nimm Dir b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K. In welchen Mengen liegt b? Und
> > in welchen Mengen liegt ab?
> >
> und dann für b und ab...
Sei
> b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
Dann ist
> , b [mm]\in[/mm] H [mm]
und
> [/mm] b [mm]\in[/mm] K
a,b [mm] \in [/mm] H ==> ab [mm] \in [/mm] H (weil???)
a,b [mm] \in [/mm] K ==> ab [mm] \in [/mm] K (weil???)
Also ist ab [mm] \in [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 18.12.2006 | | Autor: | unwanted |
> In diesem Fall natürlich nicht, weil wir es mit
> Untergruppen zu tun haben. Es ist trotzdem als Fakt
> erwähnenswert. Ohne Gedöns drumherum.
> Prinzipiell, wenn man es einfach mit Teilmengen zu tun
> hat, kann es passieren, daß man die Gültigkeit der
> allerschönsten Untergruppeneigenschaften nachweist - um
> irgendwann festzustellen, daß alles für die Katz ist, weil
> die Menge gar kein Element enthält.
>
>
Also schreibe ich am Anfang einfach, wir nehmen an dass H [mm] \cap [/mm] K nicht leer ist...
> > kann man das so sagen?
> >
> > a [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] H
>
> und a [mm]\in[/mm] K .
>
> Weil H und K (Unter-)Gruppen sind, ist
> >[mm]a^{-1} \in[/mm] H
> und
> > [mm]a^{-1} \in[/mm] K [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
>
>
> > > Nun nimm Dir b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K. In welchen Mengen liegt b? Und
> > > in welchen Mengen liegt ab?
> > >
> > und dann für b und ab...
>
> Sei
> > b [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K
> Dann ist
> > , b [mm]\in[/mm] H [mm]
und
>[/mm] b [mm]\in[/mm] K
>
> a,b [mm]\in[/mm] H ==> ab [mm]\in[/mm] H (weil???)
> a,b [mm]\in[/mm] K ==> ab [mm]\in[/mm] K (weil???)
>
weil H und K Untergruppen von G sind? und sich die Abgeschlossenheit von G auf H und K vererbt?
> Also ist ab [mm]\in[/mm] ...
>
aber warum wissen wir dass dann ab [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K ? nur weil ab auch in H und K liegen?
und somit haben wir gezeigt das H [mm] \cap [/mm] K auch eine Untergruppe von G ist?
> Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Also schreibe ich am Anfang einfach, wir nehmen an dass H
> [mm]\cap[/mm] K nicht leer ist...
Nein, du zeigst das sie nicht leer sind.
> weil H und K Untergruppen von G sind? und sich die
> Abgeschlossenheit von G auf H und K vererbt?
Die veerbt sich nicht, das sind Untergruppen ...
> > Also ist ab [mm]\in[/mm] ...
> >
> aber warum wissen wir dass dann ab [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K ? nur weil
> ab auch in H und K liegen?
Ja ... Definition vom Schnitt!
> und somit haben wir gezeigt das H [mm]\cap[/mm] K auch eine
> Untergruppe von G ist?>
Ja.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 18.12.2006 | | Autor: | unwanted |
ok dann muss ich jetzt nur noch wissen wie ich zeige dass der Schnitt nicht leer ist?
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> ok dann muss ich jetzt nur noch wissen wie ich zeige dass
> der Schnitt nicht leer ist?
Na, das hattest Du ziemlich weit oben eigentlich schon gesagt.
Es sind doch H und K Untergruppen von G. Also ist ??? in beiden Mengen und somit im Schnitt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mo 18.12.2006 | | Autor: | unwanted |
ok danke für die hilfe! :)
nun hoffe ich dass ich das alles auch richtig zusammenschreibe.
danke an alle!
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