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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 05.12.2007 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Man bestimme alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe der Ordnung 6, d.h., von G = {e, a, [mm] a^2, a^3, a^4, a^5}. [/mm] |
Ich habe leider für dieses Beispiel überhaupt keinen Plan. Da ist zwar erklärt was eine Untergruppe ist, weiß aber nicht wie ich welche bestimmen soll.
Wenn möglich zur Antwort auch eine Erklärung.
Ganz großes Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 05.12.2007 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mahlzeit Barbara!
> Man bestimme alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe der
> Ordnung 6, d.h., von G = { e, a, [mm]a^2, a^3, a^4, a^5 }.[/mm]
> Ich
> habe leider für dieses Beispiel überhaupt keinen Plan. Da
> ist zwar erklärt was eine Untergruppe ist, weiß aber nicht
> wie ich welche bestimmen soll.
Mein Vorschlag wäre in diesem Fall, es mit Probieren zu versuchen. Eine Untergruppe muß auf jeden Fall das neutrale Element enthalten. Bildet {e} schon eine U-Gruppe? Wenn die U-Gruppe außer {e} noch ein weiteres Element [mm] a^{r} [/mm] enthält, dann muß sie auch alle möglichen Verknüpfungen enthalten, die muß man dann mal bilden und schauen, was so passiert. Am Ende müßtest du dir noch überlegen, daß du wirklich alle gefunden hast.
Es gibt auch eine einfache Theorie dazu, wie man die Untergruppen von zyklischen Gruppen bestimmt, aber so ein händischer Angang ist vielleicht aus didaktischen Gründen gar nicht schlecht ('entdeckendes Lernen').
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 05.12.2007 | | Autor: | babsbabs |
Danke für die rasche Antwort!
hm ich denke mir das folgende Untergruppen existieren:
{a}; {e}; {a²}; {a³}; [mm] \{a^{4} \}; \{a^{5} \}; [/mm] {a [mm] \circ a^{2}, [/mm] *}; {a [mm] \circ a^{3}, [/mm] *}; {a [mm] \circ a^{4}, [/mm] *}; {a [mm] \circ a^{5}, [/mm] *}; {a² [mm] \circ a^{3}, [/mm] *};
(Bei einigen Ausdrücken fehlen die Klammern - weiß leider nicht warum sie nicht angezeigt werden. NB: Jetzt nicht mehr. statler)
Leider ist das Thema algebraische Strukturen komplett neu für mich!
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 05.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> hm ich denke mir das folgende Untergruppen existieren:
>
> {a}; {e}; {a²}; {a³}; [mm]{a^4}; {a^5};[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a [mm]\circ a^2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*}; {a
> [mm]\circ a^3,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*}; {a [mm]\circ a^4,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*}; {a [mm]\circ a^5,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*}; {a²
> [mm]\circ a^3,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*};
>
> (Bei einigen Ausdrücken fehlen die Klammern - weiß leider
> nicht warum sie nicht angezeigt werden).
Das ist ziemlich falsch, aber ich habe keine Zeit mehr, mich zu kümmern.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Do 06.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Barbara!
> hm ich denke mir dass folgende Untergruppen existieren:
>
> {a}; {e}; {a²}; {a³}; [mm]\{a^{4} \}[/mm]; [mm]\{a^{5} \}[/mm]; [mm]\{ a \circ a^{2},
* \}[/mm]; [mm] \{ a \circ a^{3}, * \}; \{ a \circ a^{4}, * \}; \{ a \circ a^{5},
* \}; \{ a² \circ a^{3}, * \};
[/mm]
>
> (Bei einigen Ausdrücken fehlen die Klammern - weiß leider
> nicht warum sie nicht angezeigt werden. NB: Jetzt nicht
> mehr. statler)
>
> Leider ist das Thema algebraische Strukturen komplett neu
> für mich!
Wie schon gesagt: Das sind keine Untergruppen! U-Gruppen müssen das neutrale Element enthalten und gegenüber der Verknüpfung abgeschlossen sein. Das ist bei deinen Teilmengen nicht der Fall!
Wenn dir abstrakte Strukturen noch nicht geheuer sind, versuch es mit einem (relativ) konkreten Beispiel. Du kannst die ganzen Zahlen modulo 6 mit der Addition als Verknüpfung nehmen oder noch konkreter die Drehungen eines regelmäßigen 6ecks. Gib den Drehungen Namen (zB D0, D60, D120, ... ), schreib die eine Verknüpfungstabelle auf und such U-Gruppen.
Ich habe das Gefühl, daß du der Sache nur über Beispiele beikommst, wie man das in der Schule auch machen würde.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Delta458 |
Zum Kommentar vom lieben Dieter:
wieso soll [mm] \{a \circ a^3\} [/mm] keine Untergruppe sein???
a * [mm] a^3 [/mm] = [mm] a^4 [/mm]
Und [mm] a^4 [/mm] ist in der Gruppe enthalten... es ist somit abgeschlossen!
Es wäre nett wenn die Kollegen mit einem GEGENBEISPIEL antworten könnten, sodass die Antwort nicht nur aus TEXT besteht..
gruß
david
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Hallo,
> wieso soll [mm] \{a \circ a^3\} [/mm] keine Untergruppe sein???
>
> a * [mm] a^3 [/mm] = [mm] a^4 [/mm]
> Und [mm] a^4 [/mm] ist in der Gruppe enthalten... es ist somit abgeschlossen!
Eine Untergruppe muss natürlich auch eine Gruppe sein. Also muss diese Beispiel auch das [mm] a^4 [/mm] auch enthalten. Wenn sie das enthält, muss sie natürlich auch [mm] a*a^4=a^5 [/mm] enthalten. Schließlich muss sie auch [mm] a*a=a^2 [/mm] enthalten.
Also haben wir G selbst als Untergruppe (warum auch nicht?)
Ein nichttriviales Beispiel wäre [mm] $\left\{e, a^2, a^4\right\}$.
[/mm]
Gruß
Martin
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