Untergruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 05.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Folgende Aufgabenstellung:
Sei G endliche Gruppe und $U,V [mm] \le [/mm] G$ (Wir bezeichnen damit Untergruppen von G). Dann gilt
[mm] (U:1) (V:1) \le (\left< U,V \right> : 1 ) ((U \cap V) :1 ) [/mm]
Als Hinweis steht da Satz von Lagrange...
Aber muss ich den mit G anwenden: [mm] (G:U ) (U:1) = (G:1) = (G:V) (V:1) [/mm]
oder auf die rechte Seite:
[mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : (U [mm] \cap [/mm] V) ) ((U [mm] \cap [/mm] V ) :1) = [mm] (\left< U,V \right> [/mm] :1) $???
Oder gibt's noch ne andere Möglichkeit?
Danke schonmal,
Gruß Micha 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Du weißt, dass ich kein Algebraiker bin, also: Vorsicht!
Ich habe mir Folgendes überlegt:
Wir betrachten mal die folgende Abbildung:
[mm] $\varphi\, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} U & \to & \langle U,V \rangle/V \\[5pt] u & \mapsto & u+V\end{array}$.
[/mm]
Offenbar ist [mm] $\varphi$ [/mm] wohldefiniert und ein Gruppenhomomorphismus.
Weiterhin gilt [mm] $\mbox{Kern}(\varphi))=U \cap [/mm] V$.
Daher gilt nach dem Homomorphiesatz für Gruppen
[mm] $U/U\cap [/mm] V [mm] \cong \mbox{Bild}(\varphi)$,
[/mm]
also:
[mm] $\left\vert U/U\cap V \right\vert [/mm] = [mm] \left\vert\mbox{Bild}(\varphi) \right\vert \le \left\vert \langle U,V \rangle/V \right\vert$.
[/mm]
Nun gilt aber:
[mm] $\left\vert U/U \cap V \right\vert [/mm] = [mm] \frac{|U|}{|U\cap V|} [/mm] = [mm] \frac{(U:1)}{((U \cap V):1)}$
[/mm]
und
[mm] $\left\vert \langle U,V \rangle/V \right\vert [/mm] = [mm] \frac{|\langle U,V \rangle|}{|V|} [/mm] = [mm] \frac{(\langle U,V \rangle:1)}{(V:1)}$.
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Naja, scheint mir nicht völlig falsch, aber besser wäre es, das würde mal ein Algebraiker gegenlesen. Leider haben wir nicht soooo viele hier, sonst wäre die Frage ja auch längst beantwortet.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Micha |
Lieber Stefan!
Habe jetzt auch noch einen anderen Beweis, der Lagrange und den Satz von Poincare verwendet... soll ich ihn hier nochmal niederschreiben?
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Doch, das wäre toll. Ja, mich interessiert der Beweis und ich würde ihn gerne sehen. Und so kommst du auch noch zu einer "Antwort" in dem Thread.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
Also, wir wollen zeigen:
Sei G endliche Gruppe mit $U,V [mm] \le [/mm] G$. Dann gilt:
[mm] (U:1) (V:1) \le ( \left< U,V \right> : 1) ( (U \cap V) :1 ) [/mm].
Beweis:
Es ist $U [mm] \cap [/mm] V$ eine Untergruppe von [mm] $\left< U,V \right>$. [/mm] Also wenden wir Lagrange an:
(I) [mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : (U [mm] \cap [/mm] V) )((U [mm] \cap [/mm] V) : 1 ) = [mm] (\left< U,V \right> [/mm] :1)$
Nach Poincaré gilt: Ist $U,V [mm] \le [/mm] G$, so ist $(G: (U [mm] \cap [/mm] V)) [mm] \le [/mm] (G:U)(G:V)$. Da U und V auch Untergruppen von [mm] $\left< U,V \right>$ [/mm] sind, kann man in dem Satz von Poincaré für G die Gruppe [mm] $\left< U,V \right>$ [/mm] wählen und man erhält:
(II) [mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : (U [mm] \cap [/mm] V) ) [mm] \le (\left< U,V \right> [/mm] : U) [mm] (\left< U,V \right> [/mm] : V)$
Also (I und II):
(III) [mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : U) [mm] (\left< U,V \right> [/mm] : V) ((U [mm] \cap [/mm] V) : 1 ) [mm] \ge (\left< U,V \right> [/mm] :1)$
Wende nun nochmal Lagrange auf [mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : U)$ bzw. [mm] $(\left< U,V \right> [/mm] : V)$ an:
[mm] \frac{ (\left< U,V \right> :1 )}{(U:1)} * \frac{(\left< U,V \right> :1)}{(V :1)} * ((U \cap V) :1 ) \ge (\left< U,V \right> :1)[/mm]
und das ist äquivalent zu:
[mm] (U:1) (V:1) \le ( \left< U,V \right> : 1) ( (U \cap V) :1 ) [/mm].
Hoffe das stimmt so... 
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Okay, einen "Satz von Poncaré" kenne ich im Zusammenhang der Gruppentheorie nicht. Kannst du mir da mal bitte die genaue Aussagen aufschreiben oder verlinken? (Vielleicht auch mit Beweis?)
Glaube ich aber an diese (für mich derzeit) Black Box, dann ist es aber einsichtig, vielen Dank!!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Stefan
> Lieber Micha!
>
> Okay, einen "Satz von Poncaré" kenne ich im Zusammenhang
> der Gruppentheorie nicht. Kannst du mir da mal bitte die
> genaue Aussagen aufschreiben oder verlinken? (Vielleicht
> auch mit Beweis?)
>
> Glaube ich aber an diese (für mich derzeit) Black Box, dann
> ist es aber einsichtig, vielen Dank!!
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Folgender Auszug aus meinen Aufzeichnung aus der Übung:
Also der Satz fußt auf folgender Aussage:
Sei G Gruppe, $U,V [mm] \le [/mm] G$ und $x [mm] \in [/mm] G$. Dann gilt:
$Ux [mm] \cap [/mm] Vx = (V [mm] \cap [/mm] V) x$
Beweis:
[mm] "$\supseteq$": [/mm] trivial.. (obwohl mich das auch schon einige Überlegungen kostet...)
[mm] "$\subseteq$": [/mm] Sei $y [mm] \in [/mm] (Ux [mm] \cap [/mm] Vx)$ , also [mm] $\exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U$ und $v [mm] \in [/mm] V$ mit $ y = ux = vx$.
Dann folgt nach der Kürzungsregel: $u = v$
Also $u,v [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V)x $.
Damit gilt die Gleichheit von $Ux [mm] \cap [/mm] Vx = (U [mm] \cap [/mm] V)x$.
Ende des Beweises.
Jetzt sagt Poincaré: Sei $U,V [mm] \le [/mm] G$, G Gruppe, dann gilt:
i) [mm] (G: (U \cap V)) \le (G:U) (G:V) [/mm]
ii) Ist [mm] (G:U), (G:V) < \infty[/mm] und $ggT ( (G:U), (G:V)) = 1 $, so gilt die Gleichheit in i).
Beweis:
zu i) Mit dem ersten Satz folgt für $(U [mm] \cap [/mm] V)x [mm] \in G/(U\cap [/mm] V)$ :
[mm] (G: (U \cap V)) \le (G:U) (G:V) [/mm].
Also meine Überlegung dazu ist, dass es höchstens soviele Nebenklassen nach dem Schnitt von U und V geben kann wie nach U und V einzeln..
zu ii) [mm](G: (U \cap V)) = (G:U) (U : (U \cap V)) [/mm]
und [mm](G: (U \cap V)) = (G:V) (V : (U \cap V)) [/mm]
[mm]\Rightarrow (G: (U \cap V)) \underbrace{\ge}_{ggT((G:U), (G:V)) = 1} (G:U) (G:V) \underbrace{\ge}_{i)} (G: (U \cap V)) [/mm]
Also die Gleichheit.
-- q.e.d. ---
Gruß Micha
PS: Ich muss mir den Satz auch nochmal genau anschauen... *denk
|
|
|
|
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
