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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] $S^1=\{(a,b)\in\mathbb{C}|a^2+b^2=1\}$
[/mm]
eine Untergruppe von [mm] $(\mathbb{C}-\{(0,0)\},\cdot)$ [/mm] ist. |
Hi, ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe.
Also, ich soll zeigen, dass [mm] $S^1$ [/mm] eine Untergruppe der Komplexen Zahlen ohne (0,0) ist. Dazu muss ich zeigen
I) [mm] $e\in S^1$
[/mm]
II) [mm] $S^1$ [/mm] ist abgeschlossen, also wenn $a,b [mm] \in S^1$, [/mm] so ist auch [mm] $ab\in S^1$
[/mm]
III) [mm] $a\in S^1$, [/mm] dann auch [mm] $a^{-1}\in S^1$
[/mm]
Meine Frage:
Muss ich die Menge [mm] S^1 [/mm] erst einmal berechnen? Also alle alle Zahlen finden, deren quadrate von Imaginärteil und Realteil gleich 1 sind?
zu I)
das neutrale Element sollte doch die 1 sein, also (1,0)
oder verstehe ich die Aufgabe falsch.
Über Anregungen freue ich mich.
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Hallo YuSuL,
> Zeigen Sie, dass [mm]S^1=\{(a,b)\in\mathbb{C}|a^2+b^2=1\}[/mm]
> eine Untergruppe von [mm](\mathbb{C}-\{(0,0)\},\cdot)[/mm] ist.
> Hi, ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe.
>
> Also, ich soll zeigen, dass [mm]S^1[/mm] eine Untergruppe der
> Komplexen Zahlen ohne (0,0) ist. Dazu muss ich zeigen
>
> I) [mm]e\in S^1[/mm]
> II) [mm]S^1[/mm] ist abgeschlossen, also wenn [mm]a,b \in S^1[/mm],
> so ist auch [mm]ab\in S^1[/mm]
>
> III) [mm]a\in S^1[/mm], dann auch [mm]a^{-1}\in S^1[/mm]
Genau.
>
> Meine Frage:
>
> Muss ich die Menge [mm]S^1[/mm] erst einmal berechnen? Also alle
> alle Zahlen finden, deren quadrate von Imaginärteil und
> Realteil gleich 1 sind?
Was genau meinst du damit? Es gibt unendlich viele solcher Zahlen. Vielleicht solltest du dir mal in einem Koordinatensystem angucken, welche Zahlen das gewünschte erfüllen. An welche aus der Schule bekannte Gleichung erinnert dich [mm] $a^2+b^2=1^2$?
[/mm]
>
> zu I)
>
> das neutrale Element sollte doch die 1 sein, also (1,0)
Genau. Wie würdest du denn jetzt z.B. zeigen, dass [mm] $1=(1,0)\in S^1$?
[/mm]
>
> oder verstehe ich die Aufgabe falsch.
>
> Über Anregungen freue ich mich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Zu der Menge gehören alle (unendlich viele) Punkte die auf dem Rand des Einheitskreises liegen. Stimmt, die Frage hätte ich mir vielleicht sparen können...
Das [mm] $1=(1,0)\in S^1$ [/mm] das neutrale Element ist würde ich stumpf nachrechnen durch einsetzen. Mein Problem ist glaube ich immer, dass ich mir nie sicher bin was ich bei solchen Aufgaben darf und was ich nicht darf. Manchmal denke ich, dass die Aufgaben vielleicht zu einfach sind und ich viel zu kompliziert denke.
Also:
a=1 b=0
[mm] 1^2+0^2=1
[/mm]
1=1
somit liegt es in der Menge und ist auch das neutrale Element.
Und hier eben das Problem. Ich weiß weder ob ich das so einfach nachrechnen darf, noch ob ich jetzt wirklich weiß ob dies das neutrale Element ist. ;(
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> Zu der Menge gehören alle (unendlich viele) Punkte die auf
> dem Rand des Einheitskreises liegen. Stimmt, die Frage
> hätte ich mir vielleicht sparen können...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das [mm]1=(1,0)\in S^1[/mm] das neutrale Element ist würde ich
> stumpf nachrechnen durch einsetzen. Mein Problem ist glaube
> ich immer, dass ich mir nie sicher bin was ich bei solchen
> Aufgaben darf und was ich nicht darf. Manchmal denke ich,
> dass die Aufgaben vielleicht zu einfach sind und ich viel
> zu kompliziert denke.
>
> Also:
>
> a=1 b=0
>
> [mm]1^2+0^2=1[/mm]
> 1=1
>
> somit liegt es in der Menge und ist auch das neutrale
> Element.
>
> Und hier eben das Problem. Ich weiß weder ob ich das so
> einfach nachrechnen darf, noch ob ich jetzt wirklich weiß
> ob dies das neutrale Element ist. ;(
Ich bin mir zu 104% sicher, dass ihr schon hattet, dass $1=(1,0)$ das multiplikativ neutrale Element in den komplexen Zahlen ist. Und dann ist deine obige Rechnung korrekt und reicht als Beweis aus
Ein klein wenig komplizierter ist die Rechnung für Abgeschlossenheit unter Multiplikation und Inversenbildung, aber ich denke, das schaffst du auch.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Da hast du natürlich recht, dass wir das wissen, aber ich glaube in solchen Situatonen mit Gruppen, da denke ich irgendwie immer, dass die 1 hier etwas anderes ist als die 1 der reellen Zahlen...
Oder ist das nicht so. Ich also nicht davon ausgehen kann, dass die 1 hier einfach das neutrale Element ist.
Okay, dann zu Abgeschlossenheit.
Erstmal vorab, die Frage ob es hilfreich sein kann zu erst zu zeigen, dass die Inversen Element enthalten sind?
Ich habe letztens einen Beweis bezüglich Untergruppen geführt, da war es hilfreich zu zeigen, dass die neutralen Elemente enthalten sind und erst dann zu zeigen, dass es abgeschlossen ist.
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> Da hast du natürlich recht, dass wir das wissen, aber ich
> glaube in solchen Situatonen mit Gruppen, da denke ich
> irgendwie immer, dass die 1 hier etwas anderes ist als die
> 1 der reellen Zahlen...
>
> Oder ist das nicht so. Ich also nicht davon ausgehen kann,
> dass die 1 hier einfach das neutrale Element ist.
Im Allgemeinen natürlich nicht, Gruppen müssen gar nichts mit Zahlen zu tun haben. Hier erkennst du aber an "Untergruppe von [mm] $\IC-\{0\}$, [/mm] dass die Multiplikation von komplexen Zahlen gemeint ist.
> Okay, dann zu Abgeschlossenheit.
> Erstmal vorab, die Frage ob es hilfreich sein kann zu erst
> zu zeigen, dass die Inversen Element enthalten sind?
> Ich habe letztens einen Beweis bezüglich Untergruppen
> geführt, da war es hilfreich zu zeigen, dass die neutralen
> Elemente enthalten sind und erst dann zu zeigen, dass es
> abgeschlossen ist.
Die Reihenfolge ist egal, aber vom Prinzip werden die Rechnung schon ähnlich aussehen, denke ich.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, das macht natürlich Sinn, dass hier die multiplikation von komplexen Zahlen gemeint ist.
Dann zeige ich zu erst die Abgeschlossenheit.
II)
Sei $(a,b), [mm] (c,d)\in S^1$
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] (a,b)\cdot (c,d)\in S^1
[/mm]
daher muss das Produkt die Bedingung [mm] a^2+b^2=1 [/mm] erfüllen.
[mm] $(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc-bd=ac-bd+i(ad+bc)$
[/mm]
[mm] $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$
[/mm]
müsste ich doch nun berechnen, oder? Aber wie zeige ich, dass dort dann 1 rauskommt?
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> Okay, das macht natürlich Sinn, dass hier die
> multiplikation von komplexen Zahlen gemeint ist.
Hallo,
mir gefällt hier gerade dieses Gewurschtel, bei dem die komplexen Zahlen mal in der Form x+iy und mal als Paare (x,y) geschrieben werden, überhaupt nicht.
Lt. Aufgabenstellung sollen sie ja hier als Paare von reellen Zahlen aufgefaßt werden, und ich fänd's gut, das konsequent durchzuziehen.
>
> Dann zeige ich zu erst die Abgeschlossenheit.
>
> II)
>
> Sei [mm](a,b), (c,d)\in S^1[/mm]
>
> Zu zeigen:
>
> [mm](a,b)\cdot (c,d)\in S^1[/mm]
>
> daher muss das Produkt die Bedingung [mm]a^2+b^2=1[/mm] erfüllen.
>
> [mm](a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc-bd=ac-bd+i(ad+bc)[/mm]
Wie gesagt gefiele mir hier
(a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc)
besser.
>
> [mm](ac-bd)^2+(ad+bc)^2[/mm]
>
> müsste ich doch nun berechnen, oder?
Ja.
> Aber wie zeige ich,
> dass dort dann 1 rauskommt?
Die allererste Voraussetzung wäre, daß Du mal anfängst...
Und dann mußt Du natürlich berücksichtigen, daß (a,b), (c,d) in [mm] S^1 [/mm] sind.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich glaube ich habs, hätte vielleicht erstmal weiterrechnen sollen, dass war ja eigentlich recht simpel.
[mm] $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=...=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2=c^2(a^2+b^2)+d^2(a^2+b^2)$
[/mm]
[mm] $c^2+d^2=1$
[/mm]
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> Ich glaube ich habs, hätte vielleicht erstmal
> weiterrechnen sollen,
Hallo,
das ist die wichtigste Erkenntnis in diesem Zusammenhang.
> dass war ja eigentlich recht simpel.
>
> [mm](ac-bd)^2+(ad+bc)^2=...=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2=c^2(a^2+b^2)+d^2(a^2+b^2)[/mm]
>
> [mm]c^2+d^2=1[/mm]
Genau.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte es nicht als Paare geschrieben, weil ich die Formel für die Komplexe multiplikation nicht auswendig kenne und das halt auch nicht für nötig halte, da man es sich ja recht leicht selber zusammenbauen kann. Irgendwann kann man die natürlich auswendig, ist ja auch nicht so schwer.
Dann fehlt jetzt nur noch die Existenz der Inversen.
Was ist denn in diesem Zusammenhang mit Inversen gemeint, bzw. was muss das Ergebnis der Verknüpfung sein?
[mm] $(a,b)\cdot (a,b)^{-1}=...$
[/mm]
Da es sich hier ja um die Multiplikation handelt müsste das Ergebnis ja auch einfach wieder die 1 sein, oder?
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Es muss ja $(a, b)(a, [mm] b)^{-1}=(1, [/mm] 0) $. Entweder leitest du dir die Berechnung wie oben die Multiplikation her, oder du wirfst halt doch einen Blick ins Buch.
Ich finde dein Vorgehen, auf die Multiplikation komplexer Zahlen übrigens völlig legitim, nur so wird der "Sinn" dahinter auch klar, der in der Tupel-Schreibweise verschleiert wird.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ach klar, jetzt verstehe ich wie das gemeint ist. Das kann man ja auch einfach berechnen. Gerade weil ich ja weiß, dass die Inversen ebenfalls in [mm] S^1 [/mm] enthalten sind.
Das kann man sich doch so herleiten, oder:
[mm] $1=\frac{a+ib}{a+ib}=\frac{(a+ib)(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{(a+ib)(a-ib)}{a^2+b^2}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$
[/mm]
Kompakter geschrieben mit $a+ib=z$
[mm] $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$
[/mm]
Ich muss ja eigentlich nur zeigen, dass [mm] $(a,b)^{-1}\in S^1$, [/mm] dann folgt aus II) dass auch das Produkt ein Element von [mm] S^1 [/mm] sein muss.
Doch hier wieder das übliche Problem. Darf ich dennoch einfach die Definition des Betrages für komplexe Zahlen und die komplex konjugierte verwenden?
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> [mm]\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}[/mm]
>
> Kompakter geschrieben mit [mm]a+ib=z[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}[/mm]
>
>
> Ich muss ja eigentlich nur zeigen, dass [mm](a,b)^{-1}\in S^1[/mm],
Hallo,
genau.
>
> Doch hier wieder das übliche Problem. Darf ich dennoch
> einfach die Definition des Betrages für komplexe Zahlen
> und die komplex konjugierte verwenden?
Was Du "darfst", weiß ich nicht,
und es hängt sicher auch davon ab, was in Deiner Vorlesung wie behandelt wurde.
Ich würde es in Anbetracht der Form, in welcher Dir [mm] S^1 [/mm] gegeben ist, nicht tun, sondern würde mit Tupeln arbeiten,
und ich würde bei dieser Aufgabenstellung auch nicht die "Komplikation" des Konjugiert-Komplexen ins Spiel bringen.
Ich erkenne keinen Vorteil.
Was spricht dagegen, zu sagen, daß für [mm] (0,0)\not=(a,b)\in \IC [/mm] gilt [mm] (a,b)^{-1}=(...,...).
[/mm]
Und dann rechnest Du vor, daß das für [mm] (a,b)\in S^1 [/mm] auch in [mm] S^1 [/mm] ist.
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:00 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Aber (0,0) haben wir doch in der Aufgabe ausgeschlossen, oder gilt das nur allgemein für die Komplexen Zahlen und nicht zwangsläufig auch für [mm] $S^1$?
[/mm]
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Hallo,
Tippfehler! Sollte [mm] (0,0)\not= [/mm] ... heißen.
Entschuldigung.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Hmm, ich weiß gerade nicht so recht, wie ich obige Formel in die Schreibweise als Tupel bringen kann.
Für [mm] $(0,0)\neq [/mm] (a,b)$ gilt [mm] $(a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2})=(a,-b)$
[/mm]
Einfach so?
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> Hmm, ich weiß gerade nicht so recht, wie ich obige Formel
> in die Schreibweise als Tupel bringen kann.
Hallo,
>
> Für [mm](0,0)\neq (a,b)[/mm] [mm] \green{\in S^1 \quad gilt}
[/mm]
> [mm](a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2})=(a,-b)[/mm].
Und dann schreibst Du noch: "Offensichtlich ist (a,-b) [mm] \in S^1".
[/mm]
>
> Einfach so?
So einfach.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank euch zwei für die tolle Hilfe.
Das hat mir wirklich sehr geholfen.
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