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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) Es sei n [mm] \varepsilon \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge M := {z [mm] \varepsilon \IC [/mm] | [mm] z^{n} [/mm] = 1} bezüglich der Multiplikation
komplexer Zahlen eine Untergruppe von [mm] \IC [/mm] \ {0} ist.
b) Die Elemente von M heißen n-te Einheitswurzeln. Eine Einheitswurzel heißt primitiv, wenn für alle
m [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit m < n gilt: [mm] z^{m} \not= [/mm] 1. Für welche k [mm] \varepsilon [/mm]
{0,1...,n-1} ist f:= [mm] cos(\bruch{2\pi k}{n}) [/mm] + i [mm] \* sin(\bruch{2\pi k}{n}) [/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel? |
Hallo, Kann mir vllt jemand bei dieser Aufgabe helfen?
z.B. bei der a) Da muss ich doch zeigen, dass die Untergruppe nicht leer ist sowie abgeschlossen bzgl. Verknüpfung und Inversen ist.
Aber wie mache ich das?
Ich weiß, dass man [mm] z^{n} [/mm] = 1 auch so schreiben kann:
[mm] cos(\bruch{2\pi k + \pi}{n}) [/mm] + i [mm] \* sin(\bruch{2\pi k + \pi}{n}) [/mm]
Das müsste mir eigentlich was bringen? Aber wie kann ich das jetzt weiterführen? Danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) Es sei n [mm]\varepsilon \IN.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeigen Sie, dass die Menge M
> := {z [mm]\varepsilon \IC[/mm] | [mm]z^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1} bezüglich der
> Multiplikation
> komplexer Zahlen eine Untergruppe von [mm]\IC[/mm] \ {0} ist.
>
> b) Die Elemente von M heißen n-te Einheitswurzeln. Eine
> Einheitswurzel heißt primitiv, wenn für alle
> m [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit m < n gilt: [mm]z^{m} \not=[/mm] 1. Für
> welche k [mm]\varepsilon[/mm]
> {0,1...,n-1} ist f:= [mm]cos(\bruch{2\pi k}{n})[/mm] + i [mm]\* sin(\bruch{2\pi k}{n})[/mm]
> eine primitive n-te Einheitswurzel?
>
> Hallo, Kann mir vllt jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> z.B. bei der a) Da muss ich doch zeigen, dass die
> Untergruppe nicht leer ist sowie abgeschlossen bzgl.
> Verknüpfung und Inversen ist.
>
> Aber wie mache ich das?
Geradeheraus: sind z,w [mm] \in [/mm] M, so zeige:zw [mm] \in [/mm] M und 1/z [mm] \in [/mm] M
FRED
>
> Ich weiß, dass man [mm]z^{n}[/mm] = 1 auch so schreiben kann:
>
> [mm]cos(\bruch{2\pi k + \pi}{n})[/mm] + i [mm]\* sin(\bruch{2\pi k + \pi}{n})[/mm]
>
> Das müsste mir eigentlich was bringen? Aber wie kann ich
> das jetzt weiterführen? Danke vielmals.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, aber wie zeige ich das? Brauche ich diese Form mit cos und sin garnicht?
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Hallo SolRakt,
> Ja, aber wie zeige ich das? Brauche ich diese Form mit cos
> und sin garnicht?
Am Einfachsten ist es, wenn du für die [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm] die Darstellung [mm]z=e^{i\cdot{}\phi}[/mm] mit [mm]\phi\in\IR[/mm] nimmst ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..versteh ich (kenne diese Form aus einer anderen Vorlesung), aber darf ich die denn verwenden, weil in der Vorlesung diese Form nicht verwendet wurde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Sind z,w [mm] \in [/mm] M, so ist [mm] $(zw)^n=z^nw^n=1*1=1$, [/mm] also zw [mm] \in [/mm] M
und [mm] $(1/z)^n=1/z^n=1/1=1$, [/mm] also 1/z [mm] \im [/mm] M
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:18 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Versteh ich. ;) Kannst du mir auch bei der b) helfen bzw. einen Ansatz oder Tipps geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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