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| Aufgabe | | Untergruppen und Nebenklassen der multipl. Gruppe [mm] \IZ_{7} [/mm] bestimmen. |
Hi,
ich wollte mal nachfragen, ob ich das richtig gemacht habe.
Die Elemente der Gruppe und deren Ordnung sind:
Element 1 2 3 4 5 6
Ordnung 1 3 6 3 6 2
Die Untergruppen habe ich so:
Untergruppe a: <1> = {1}
Untergruppe b: <6> = {1, 6}
Untergruppe c: <2> = <4> = {1, 2, 4}
Untergruppe d: <3> = <6> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Die Nebenklassen habe ich so:
NK von a {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
NK von b {1, 6}, {2, 5} und {3, 4}
NK von c {1, 2, 4} und {3, 6, 5}
NK von d {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Wäre das korrekt?
Habe ich das richtig verstanden, dass die Ordnung eines Elements gleich der Anzahl der Elemente der Untergruppe ist, z.B. haben die Elemente 2 und 4 die Ordnung 3, also hat deren Untergruppe 3 Elemente? Das neutrale Element, hier die 1, muss in jeder Untergruppe enthalten sein, richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Untergruppen und Nebenklassen der multipl. Gruppe
> [mm] \IZ_{7}[/mm] bestimmen.
>
>
> ich wollte mal nachfragen, ob ich das richtig gemacht
> habe.
> Die Elemente der Gruppe und deren Ordnung sind:
>
> Element 1 2 3 4 5 6
Oder je nach Definition von [mm] $\IZ_7$ [/mm] auch die Restklassen dieser Zahlen modulo 7.
> Ordnung 1 3 6 3 6 2
Sieht gut aus. Die multiplikative Gruppe von [mm] $\IZ_p$ [/mm] (mit $p$ prim) ist immer zyklisch, womit man schon genau sagen kann wieviele Elemente welcher Ordnung es gibt (vielleicht hattet ihr das schon, vielleicht auch nicht). Hier bestaetigt das zumindest deine Aussage :)
> Die Untergruppen habe ich so:
> Untergruppe a: <1> = {1}
> Untergruppe b: <6> = {1, 6}
> Untergruppe c: <2> = <4> = {1, 2, 4}
> Untergruppe d: <3> = <6> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Das ist richtig.
(Weitere Untergruppen gibt es nicht, da jede Untergruppe zyklisch ist.)
> Die Nebenklassen habe ich so:
> NK von a {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
> NK von b {1, 6}, {2, 5} und {3, 4}
> NK von c {1, 2, 4} und {3, 6, 5}
> NK von d {1, 2, 3, 4, 5, 6}
>
> Wäre das korrekt?
Ja.
> Habe ich das richtig verstanden, dass die Ordnung eines
> Elements gleich der Anzahl der Elemente der Untergruppe
> ist, z.B. haben die Elemente 2 und 4 die Ordnung 3, also
> hat deren Untergruppe 3 Elemente? Das neutrale Element,
> hier die 1, muss in jeder Untergruppe enthalten sein,
> richtig?
Das stimmt so alles.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Do 11.07.2013 | | Autor: | Ptolemaios |
Hi Felix,
danke für deine schnelle Antwort, die alles geklärt hat.
Gruß Ptolemaios
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