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| Aufgabe | | Gesucht sind alle Untergruppen von [mm] (\IZ_{60},[/mm] [mm] +_{60} [/mm]) |
Hallo,
ich habe schon wieder eine Nachfrage. Diese Aufgabe konnten wir zwar ganz gut lösen, sind uns allerdings nicht sicher, ob das so stimmt. Vielleicht könnte mal jemand unsere Lösung überprüfen?
Wir haben uns überlegt, dass alle Untergruppen eine Ordnung haben muss, die 60 teilt. Also Ordnung 1,2,3,4,5,6,10,12, 15, 20, 30, 60.
Die der Ordnung 1 kann nur die Untergruppe mit dem neutralen Element sein, also ({0}, [mm] +_{60} [/mm]).
Eine Untergruppe der Ordnung 2 kann hier nur bei selbstinversen Elementen vorliegen, allen anderen Elementen würde das Inverse fehlen, da ja jeweils das neutrale Element ebenfalls in den Untergruppen vorhanden sein muss.
Es gibt, außer dem neutralen Element, nur das selbstinverse Element 30 und somit die Untergruppe
({0,30}, [mm] +_{60} [/mm]).
Für alle Teilmengen der Ordnung > 2 wäre eine Gruppe nicht abgeschlossen, daher kann es keine weiteren Untergruppen geben. Ausnahme ist natürlich die triviale Gruppe [mm] (\IZ_{60},[/mm] [mm] +_{60} [/mm]).
Insgesamt hat [mm] (\IZ_{60},[/mm] [mm] +_{60} [/mm]) also drei Untergruppen:
({0}, [mm] +_{60} [/mm]), ({0,30}, [mm] +_{60} [/mm]) und [mm] (\IZ_{60},[/mm] [mm] +_{60} [/mm]).
Stimmt das so?
Erneut vielen Dank!
Liebe Grüße
Katrin
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> Gesucht sind alle Untergruppen von [mm](\IZ_{60},[/mm] [mm]+_{60} [/mm])
>
> Wir haben uns überlegt, dass alle Untergruppen eine
> Ordnung haben muss, die 60 teilt.
Hallo,
beachte statlers Hinweis im anderen Thread: mit diesem Wissen hätte man dort die Lösung fast ohne zu denken gehabt.
> Also Ordnung
> 1,2,3,4,5,6,10,12, 15, 20, 30, 60.
> Die der Ordnung 1 kann nur die Untergruppe mit dem
> neutralen Element sein, also ({0}, [mm]+_{60} [/mm]).
>
> Eine Untergruppe der Ordnung 2 kann hier nur bei
> selbstinversen Elementen vorliegen, allen anderen Elementen
> würde das Inverse fehlen, da ja jeweils das neutrale
> Element ebenfalls in den Untergruppen vorhanden sein muss.
> Es gibt, außer dem neutralen Element, nur das
> selbstinverse Element 30 und somit die Untergruppe
> ({0,30}, [mm]+_{60} [/mm]).
>
> Für alle Teilmengen der Ordnung > 2 wäre eine Gruppe
> nicht abgeschlossen,
Wieso?
Was ist mit [mm] \{0, 5, 10, ..., 55\} [/mm] ?
Dir fehlen Kenntnisse über die Untergruppen zyklischer Gruppen.
Lies diesbezüglich mal ein klein wenig nach.
Gruß v. Angela
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Ich glaube, ich bin fündig geworden.
Für jeden positiven Teiler d von n hat die Gruppe [mm] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [/mm] genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich die von dem Element n/d erzeugte Untergruppe {kn/d | k=0, ..., d-1}. Andere als diese Untergruppen gibt es nicht. (Zitat Wikipedia)
Verstehe ich das richtig?
Ich habe hier eine Gruppe der Ordnung 60. Zu jedem Teiler k der 60 gibt es genau eine Untergruppe, nämlich alle Vielfachen von 60/k.
Das war mir wirklich noch nicht bewusst....
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> Ich glaube, ich bin fündig geworden.
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> Für jeden positiven Teiler d von n hat die Gruppe
> [mm]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/mm] genau eine Untergruppe der Ordnung
> d, nämlich die von dem Element n/d erzeugte Untergruppe
> {kn/d | k=0, ..., d-1}. Andere als diese Untergruppen gibt
> es nicht. (Zitat Wikipedia)
>
> Verstehe ich das richtig?
> Ich habe hier eine Gruppe der Ordnung 60. Zu jedem Teiler
> k der 60 gibt es genau eine Untergruppe, nämlich alle
> Vielfachen von 60/k.
sind in dieser Untergruppe.
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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