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| Aufgabe | G Gruppe [mm] H\subseteq [/mm] G, H nicht leer =>
H Untergruppe von H <=> [mm] ab\in [/mm] H für alle [mm] a,b\in [/mm] H |
=> Klar
<= Wie folgt aus [mm] ab\in [/mm] H, dass [mm] a^{-1} \in [/mm] H ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> G Gruppe [mm]H\subseteq[/mm] G, H nicht leer =>
>
> H Untergruppe von H <=> [mm]ab\in[/mm] H für alle [mm]a,b\in[/mm] H
> => Klar
>
> <= Wie folgt aus [mm]ab\in[/mm] H, dass [mm]a^{-1} \in[/mm] H ?
ohne weiteres gar nicht. Es gibt "richtige" Kriterien:
[mm] $G\,$ [/mm] Gruppe und $H [mm] \subseteq [/mm] G$ sei nicht leer. Dann ist [mm] $H\,$ [/mm]
Untergruppe von [mm] $\red{G}$ [/mm] genau dann, wenn für alle $a,b [mm] \in [/mm] H$ gilt,
dass [mm] $ab^{\red{-1}} \in [/mm] H$ gilt.
Oder
[mm] $G\,$ [/mm] Gruppe und $H [mm] \subseteq [/mm] G$ sei nicht leer. Dann ist [mm] $H\,$ [/mm]
Untergruppe von [mm] $\red{G}$ [/mm] genau dann, wenn für alle $a,b [mm] \in [/mm] H$ gilt,
dass $ab [mm] \in [/mm] H$ UND [mm] $a^{-1} \in [/mm] H$ gilt.
Die Aufgabenstellung oben ist nicht vollständig. Du kannst ja auch mal
versuchen, ein Gegenbeispiel zur Aufgabenstellung zu basteln:
Wir betrachten [mm] $(\IZ,+)\,,$ [/mm] das ist offensichtlich eine Gruppe. Wir definieren
[mm] $H:=\IN \subseteq \IZ$ [/mm] (wobei [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] gelten soll!). Dann...
Gruß,
Marcel
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Ich habe mir auch von Anfang an gedacht, dass die Aufgabenstellung unvollständig ist, es ist schon klar das die natürlichen Zahlen eine Halbgruppe bilden, da sie kein neutrales, bzw. inverses Element besitzt.
Wenn G endlich ist, dann müsste die Aussage aber gelten oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mir auch von Anfang an gedacht, dass die
> Aufgabenstellung unvollständig ist, es ist schon klar das
> die natürlichen Zahlen
NUR
> eine Halbgruppe bilden, da sie kein
> neutrales, bzw. inverses Element besitzt.
>
> Wenn G endlich ist, dann müsste die Aussage aber gelten
> oder?
Ja. Es gilt (vgl. Algebra, Meyberg und Karpfinger)
Lemma 2.8
Jede nichtleere endliche Unterhalbgruppe U einer Gruppe ist eine Untergruppe.
Wenn [mm] $G\,$ [/mm] endlich, dann ist auch [mm] $H\,$ [/mm] endlich. Weil [mm] $G\,$ [/mm] als Gruppe
insbesondere eine Halbgruppe ist, ist auch [mm] $H\,$ [/mm] eine Halbgruppe (es ist
ja nur die Gültigkeit des Assoziativgesetzes nachzuprüfen)! Damit ist [mm] $H\,$ [/mm]
als endliche Unterhalbgruppe schon eine Untergruppe von [mm] $G\,.$
[/mm]
P.S.
$a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] H$ braucht man dabei aber nicht!
doch, denn sonst wäre ja die Verknüpfung in [mm] $H\,$ [/mm] nicht notwendig
abgeschlossen, d.h. "sie könnte nach $G [mm] \setminus [/mm] H$ herausführen" -
das hatte ich übersehen, Tobi hat's ge-/be- und angemerkt. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mo 22.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> [mm]a,b \in H \Rightarrow ab \in H[/mm] braucht man dabei aber nicht!
Doch. Sonst ist H keine Unterhalbgruppe von G.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > [mm]a,b \in H \Rightarrow ab \in H[/mm] braucht man dabei aber
> nicht!
> Doch. Sonst ist H keine Unterhalbgruppe von G.
haha, stimmt, da hab' ich mich selbst veräppelt: Irgendwie bin ich
automatisch davon ausgegangen, dass die Verknüpfung nicht aus
[mm] $H\,$ [/mm] herausführt!
Danke!
Gruß,
Marcel
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