Untergruppentest 2 Beweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 28.10.2010 | | Autor: | Ang3la |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und U [mm] \le [/mm] G eine Teilmenge von G. Zeigen Sie:
U ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn e [mm] \in U [/mm] und für alle a, b [mm] \in U [/mm] schon [mm] ab^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] gilt. |
Hallo,
ich befürchte, ich habe ein Grundlegendes Problem mit dem Verständnis und verzweifle gerade ein bisschen.
Zur oben stehenden Aufgabe weiß ich, dass es für die Untergruppen Bedingungen gibt:
Untergruppentest 1:
(U1) Das neutrale Element e von G liegt in U
(U2) ab [mm] \in U [/mm] für alle a, b [mm] \in U [/mm]
(U3) [mm] a^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] für alle a [mm] \in U [/mm]
Untergruppentest 2:
(U1) Das neutrale Element e von G liegt in U
(U2) [mm] ab^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] für alle a, b [mm] \in U [/mm]
Durch die Formulierung "genau dann, wenn" weiß ich, dass es sich um eine Äquivalenz handelt und ich somit beide Richtungen zeigen muss.
Nur stehe ich total auf dem Schlauch. Ich soll jetzt meine Beweise beweisen, oder? Also meine Bedingungen (U1-U3) muss ich beweisen um aufzuzeigen, dass es sich bei U um eine Untergruppe von G handelt.
Ich könnte jetzt noch Sachen aufschreiben, die ich rausgesucht, aber nicht verstanden habe, deswegen lasse ich es erst einmal.
Ich muss jetzt irgendwie beweisen, dass U eine Untergruppe ist, weil U1 und U2 vom Untergruppentest 2 gelten und ich muss anders herum beweisen, dass weil U1 und U2 gelten U eine Untergruppe ist, richtig?
Aber wie?
Ich weiß auf Grund meiner Bedingungen für eine Gruppe, dass es ein e [mm] \in U [/mm] gibt. Auf Grund von U1 weiß ich also, dass dieses dann auch in U liegt. Aber wie beweise ich das? Wie muss ich das notieren?
So, bevor ich mich hier noch weiter verzettle: Ich verstehe es einfach nicht und brauche jemanden, der mir sagen kann, wie ich daran gehen muss. Eine fertige Lösung will ich nicht, das bringt mir nichts (jedenfalls nicht ohne Beschreibung und Erklärung). Aber ich habe hier das Handwerkszeug liegen mit dem ich ich nicht umzugehen weiß und bräuchte mal eine Bedienungsanleitung.
Angela
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Angela und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und U [mm]\le[/mm] G eine
> Teilmenge von G. Zeigen Sie:
>
> U ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn e [mm]\in U[/mm] und
> für alle a, b [mm]\in U[/mm] schon [mm]ab^-1[/mm] [mm]\in U[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> ich befürchte, ich habe ein Grundlegendes Problem mit dem
> Verständnis und verzweifle gerade ein bisschen.
>
> Zur oben stehenden Aufgabe weiß ich, dass es für die
> Untergruppen Bedingungen gibt:
> Untergruppentest 1:
>
> (U1) Das neutrale Element e von G liegt in U
Heißt es nicht (U1) [mm]U\neq\emptyset[/mm] ?
> (U2) ab [mm]\in U[/mm] für alle a, b [mm]\in U[/mm]
> (U3) [mm]a^-1[/mm] [mm]\in U[/mm] für
> alle a [mm]\in U[/mm]
>
> Untergruppentest 2:
> (U1) Das neutrale Element e von G liegt in U
> (U2) [mm]ab^-1[/mm] [mm]\in U[/mm] für alle a, b [mm]\in U[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nenne die besser anders (W1) und (W2) meinetwegen
>
> Durch die Formulierung "genau dann, wenn" weiß ich, dass
> es sich um eine Äquivalenz handelt und ich somit beide
> Richtungen zeigen muss.
>
> Nur stehe ich total auf dem Schlauch. Ich soll jetzt meine
> Beweise beweisen, oder? Also meine Bedingungen (U1-U3) muss
> ich beweisen um aufzuzeigen, dass es sich bei U um eine
> Untergruppe von G handelt.
Nein, du nimmst einmal an, dass (U1)-(U3) gelten und musst zeigen, dass dann (W1) und (W2) gelten und umgekehrt.
>
> Ich könnte jetzt noch Sachen aufschreiben, die ich
> rausgesucht, aber nicht verstanden habe, deswegen lasse ich
> es erst einmal.
>
> Ich muss jetzt irgendwie beweisen, dass U eine Untergruppe
> ist, weil U1 und U2 vom Untergruppentest 2 gelten und ich
> muss anders herum beweisen, dass weil U1 und U2 gelten U
> eine Untergruppe ist, richtig?
> Aber wie?
>
> Ich weiß auf Grund meiner Bedingungen für eine Gruppe,
> dass es ein e [mm]\in U[/mm] gibt. Auf Grund von U1 weiß ich also,
> dass dieses dann auch in U liegt. Aber wie beweise ich das?
> Wie muss ich das notieren?
Ich kenne das (U1) etwas anders, nämlich (U1) [mm]U\neq\emptyset[/mm]
Also gibt es ein Element [mm]a\in U[/mm]
Mit (U3) folgt was? Und was dann mit (U2)?
Genau: (W1)
Dann bastel dir aus (U1)-(U3) zusammen, dass auch (W2) gilt
Dann hast du die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] schon fertig
Analog die andere Richtung: Folgere aus den Bedingungen (W1) und (W2), dass (U1)-(U3) dann auch gelten.
>
> So, bevor ich mich hier noch weiter verzettle: Ich verstehe
> es einfach nicht und brauche jemanden, der mir sagen kann,
> wie ich daran gehen muss. Eine fertige Lösung will ich
> nicht, das bringt mir nichts (jedenfalls nicht ohne
> Beschreibung und Erklärung). Aber ich habe hier das
> Handwerkszeug liegen mit dem ich ich nicht umzugehen weiß
> und bräuchte mal eine Bedienungsanleitung.
Reicht die eine Folgerung und die Anleitung schon aus?
Bestimmt! Probier's nun mal weiter!
>
>
> Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viel Erfolg und liebe Grüße
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Ang3la |
Hallo schachuzipus,
Ich versuche es wirklich zu verstehen, aber es dauert.
Also, in unserer Vorlesung ist (U1) wie ich es beschrieben hatte, dass das neutrale Element e von G auch in U liegt. Deine Variante habe ich aber sowohl im Netz als ich in verschiedenen Büchern bereits gelesen.
Ok, also ich gehe davon aus, dass die Bedingungen vom Untergruppentest gelten, als (U1)-(U3) und muss damit zeigen, das auch die Bedingungen des Untergruppentests 2, jetzt (W1)-(W2) gelten.
> Ich kenne das (U1) etwas anders, nämlich (U1)
> [mm]U\neq\emptyset[/mm]
>
> Also gibt es ein Element [mm]a\in U[/mm]
>
> Mit (U3) folgt was? Und was dann mit (U2)?
Wenn ich von deinem (U1) ausgehe, dann würde (U3) so aussehen: Wenn es ein Element a [mm] \in U [/mm] gibt, dann gibt es auch das inverse Element [mm] a^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm].
Aber was mache ich mit (U2)? (U2) sagt doch nur aus, dass, wenn a und b aus U sind, dass dann auch ihre Verknüpfung aus U ist, also die Abgeschlossenheit, oder? Aber was folgt daraus? (Ich weiß, dass war deine Frage, aber ich kann sie nicht beantworten).
Wenn ich jedoch sehe, dass die Verknüpfung von a und b aus U ist, ist es denn dann nicht auch klar, dass die Verknüpfung von a und [mm] b^-1 [/mm] aus U ist?
>
> Genau: (W1)
In wiefern liefern mir (U2) und (U3) denn (W1)? (W1) = (U1), das muss ich doch gar nicht mehr zeigen, oder? Wenn die drei Bedingungen des Untergruppentests 1 gelten, dann muss ja automatisch auch die erste Bedingung des Untergruppentests 2 gelten, da diese mit (U1) identisch ist. Korrekt?
Also denke ich, du meintest (W2) und das habe ich ja oben geschlussfolgert. Allerdings befürchte ich, du hast dich nicht versehen und ich hab es somit nicht verstanden.
>
> Dann bastel dir aus (U1)-(U3) zusammen, dass auch (W2)
> gilt
Das habe ich ja bereits versucht. Und weil du hier noch einmal (W2) erwähnst irre ich mich mit obiger Aussage und stehe somit wieder am Anfang.
>
> Dann hast du die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] schon fertig
>
> Analog die andere Richtung: Folgere aus den Bedingungen
> (W1) und (W2), dass (U1)-(U3) dann auch gelten.
>
>
> Reicht die eine Folgerung und die Anleitung schon aus?
>
Leider nein...
> Bestimmt! Probier's nun mal weiter!
>
Also noch mal konkret:
Kann ich sagen, dass aus (U3) zusammen mit (U2) (W2) folgt? Also, wenn a [mm] \in U [/mm] dann auch [mm] a^-1 [/mm] [mm] [mm] \in [/mm] U [mm] kombiniert mit, wenn a, b [mm] [mm] \in [/mm] U [mm] dann auch ab [mm] [mm] \in [/mm] U [mm] ergibt das auch [mm] ab^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] ist.
Ich weiß nicht, wie ich aus (U3) und (U2) (W1) schlussfolgern sollte und erstrecht nicht, wie ich dann (W2) herleite.
Sorry das ich noch mal nachfragen muss, aber es ist mir einfach nicht klar,
Angela
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> Ich versuche es wirklich zu verstehen, aber es dauert.
>
> Also, in unserer Vorlesung ist (U1) wie ich es beschrieben
> hatte, dass das neutrale Element e von G auch in U liegt.
> Deine Variante habe ich aber sowohl im Netz als ich in
> verschiedenen Büchern bereits gelesen.
Dann hast du für Punkt 1 nix zu tun (U1) [mm]e\in U \ \gdw e\in U[/mm] (W1)
>
> Ok, also ich gehe davon aus, dass die Bedingungen vom
> Untergruppentest gelten, als (U1)-(U3) und muss damit
> zeigen, das auch die Bedingungen des Untergruppentests 2,
> jetzt (W1)-(W2) gelten.
>
> > Ich kenne das (U1) etwas anders, nämlich (U1)
> > [mm]U\neq\emptyset[/mm]
> >
> > Also gibt es ein Element [mm]a\in U[/mm]
> >
> > Mit (U3) folgt was? Und was dann mit (U2)?
>
> Wenn ich von deinem (U1) ausgehe, dann würde (U3) so
> aussehen: Wenn es ein Element a [mm]\in U[/mm] gibt, dann gibt es
> auch das inverse Element [mm]a^-1[/mm] [mm]\in U [/mm].
>
> Aber was mache ich mit (U2)? (U2) sagt doch nur aus, dass,
> wenn a und b aus U sind, dass dann auch ihre Verknüpfung
> aus U ist, also die Abgeschlossenheit, oder? Aber was folgt
> daraus? (Ich weiß, dass war deine Frage, aber ich kann sie
> nicht beantworten).
>
> Wenn ich jedoch sehe, dass die Verknüpfung von a und b aus
> U ist, ist es denn dann nicht auch klar, dass die
> Verknüpfung von a und [mm]b^-1[/mm] aus U ist?
>
> >
> > Genau: (W1)
>
> In wiefern liefern mir (U2) und (U3) denn (W1)? (W1) =
> (U1), das muss ich doch gar nicht mehr zeigen, oder?
Nein, bei deinem (U1) nicht, bei meinem schon, siehe ganz unten!
Ich ging von meinem aus 
> Wenn
> die drei Bedingungen des Untergruppentests 1 gelten, dann
> muss ja automatisch auch die erste Bedingung des
> Untergruppentests 2 gelten, da diese mit (U1) identisch
> ist. Korrekt?
Ja klar!
>
> Also denke ich, du meintest (W2) und das habe ich ja oben
> geschlussfolgert. Allerdings befürchte ich, du hast dich
> nicht versehen und ich hab es somit nicht verstanden.
> >
> > Dann bastel dir aus (U1)-(U3) zusammen, dass auch (W2)
> > gilt
>
> Das habe ich ja bereits versucht. Und weil du hier noch
> einmal (W2) erwähnst irre ich mich mit obiger Aussage und
> stehe somit wieder am Anfang.
> >
> > Dann hast du die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] schon fertig
> >
> > Analog die andere Richtung: Folgere aus den Bedingungen
> > (W1) und (W2), dass (U1)-(U3) dann auch gelten.
> >
>
> >
> > Reicht die eine Folgerung und die Anleitung schon aus?
> >
>
> Leider nein...
>
> > Bestimmt! Probier's nun mal weiter!
> >
>
>
> Also noch mal konkret:
>
> Kann ich sagen, dass aus (U3) zusammen mit (U2) (W2) folgt?
Ja, ich antworte mal auf diese Frage, denn sie scheint sich zu wiederholen.
(mit meinem (U1))
[mm]U\neq\emptyset\Rightarrow\exists a\in U[/mm]
(U3)[mm]\Rightarrow a^{-1}\in U[/mm]
(U2)mit [mm]a,a^{-1}\in U[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]aa^{-1}=e\in U[/mm] also (W1)
> Also, wenn a [mm]\in U[/mm] dann auch [mm]a^-1[/mm] [mm]\in[/mm] U [mm]kombiniert mit, wenn a, b \in[/mm] U [mm]dann auch ab \in[/mm] U [mm]ergibt das auch ab^-1[/mm] [mm]\in U[/mm] ist. [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm]Ich weiß nicht, wie ich aus (U3) und (U2) (W1) schlussfolgern sollte und erstrecht nicht, wie ich dann (W2) herleite.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm]Sorry das ich noch mal nachfragen muss, aber es ist mir einfach nicht klar,[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm]Angela [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
Du musst aus (U1)-(U3) nur (W2) folgern.
Du musst also zeigen, dass aus (U1)-(U3) mit [mm]a,b\in U[/mm] folgt, dass [mm]ab^{-1}\in U[/mm]
Nimm dir also bel. [mm]a,b\in U[/mm] her:
Dann ist mit (U3) auch [mm]b^{-1}\in U[/mm]
Dann aber mit (U2) (und [mm]a,b^{-1}\in U[/mm]) auch [mm]ab^{-1}\in U[/mm]
Das ist genau (W2)
Damit ist [mm]\Rightarrow[/mm] erledigt.
Mache dich nun an die andere Richtung, zeige, dass aus (W1),(W2) die Eigenschaften (U1)-(U3) folgen
(W1) [mm]\gdw[/mm] (U1) ist ja schon abgehakt, bleiben (U2),(U3) zu folgern
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:13 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Ang3la |
Es tut mir wirklich Leid, aber ich verstehe es nicht. Ich habe immer noch das Gefühl, dass mir irgendein Vorwissen fehlt.
Ich versuche jetzt noch einmal mathematisch aufzuschreiben, was du mir gesagt hast nur um sicherzugehen, dass das korrekt ist:
Gegeben sind die Bedingungen (U1)-(U3).
(W2) soll geschlussfolgert werden: Für alle a [mm] \in U [/mm] : [mm] a^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] ((U3))
= (durch (U3)) Für alle b [mm] \in U [/mm] : [mm] b^-1 [/mm] [mm] \in [/mm]
= (durch (U2)) Für alle a, b [mm] \in U [/mm] : [mm] ab^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm]
Und somit ist (W2) bewiesen.
Nun habe ich umgekehrt die Bedingung (W2) gegeben.
Die verstehe ich schon nicht. Was sagt mir (W2) eigentlich? Warum habe ich eine Verknüpfung von a und [mm] b^-1 [/mm] [mm] \in U [/mm] nur weil a, b [mm] \in U [/mm] sind?
Ich weiß nicht, was ich noch schreiben soll, ich stehe total auf dem Schlauch. Ich habe dieses [mm] ab^-1 [/mm] weil ich die Bedingungen (U2) und (U3) benutze, richtig? Weil die gelten gilt dann auch (W2).
Ich kann es nicht in die andere Richtung zeigen, da ich nichts verstehe. Irgendetwas grundlegendes ist mir noch nicht klargeworden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Ang3la |
Hallo,
ich probiere immer noch rum und hatte eben, glaube ich, einen AHA-Effekt und habe einen Teil von dem, was du mir versucht hast zu vermitteln, verstanden. Also:
Da U [mm] \not= [/mm] = existiert min. ein a [mm] \in U [/mm].
Wegen (U3) liegt auch das inverse Element [mm] a^-1 [/mm] zu a in U, also [mm] a^-1 [/mm][mm] \in U [/mm].
Somit ergibt die Verknüpfung aus a und [mm] a^-1 [/mm] das neutrale Element e, da gilt: a$a^-1$=e und somit e [mm] $\in [/mm] U$. Somit habe ich (U1) bewiesen.
Jetzt fehlt mir aber noch (W2)... Da rätzel ich mal noch etwas weiter rum.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mo 01.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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