Untermannigfaltigk. Parametris < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 27.05.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | Seien f,g: [mm] \IR^3\to?\IR [/mm] gegeben durch
[mm] f_1(x,y,z)=x^2+xy-y-z [/mm] und [mm] f_2(x,y,z)=2x^2+3xy-2y-3z
[/mm]
uns sei [mm] M:={(x,y,z)\in\IR^3 | f_1(x,y,z)=f_2(x,y,z)=0}. [/mm] Zeigen Sie, dass M eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist und das [mm] \phi:\IR\toM, \phi(t,t^2,t^3) [/mm] für jedes [mm] a\inM [/mm] eine lokale Parametrisierung ist. |
Moin, in der Vorlesung haben wir so viele verschiedene Definitionen einer Untermannigfaltigkeit (UMF) kennengelernt, so dass ich da etwas den Überblick verloren habe und bei obiger Aufgabe ins Stocken geraten bin. Es wäre nett, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet.
Ich möchte die Aufgabe mit folgender Defintion lösen.
Eine Teilmenge M [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt k-dim. UMF der Klasse [mm] C^l [/mm] falls es zu jedem Punkt [mm] a\inM [/mm] eine offene Umgebung U von a in [mm] \IR^n [/mm] gibt und [mm] C^l-Funktionen f_1,...,f_{n-k}:U\to\IR, [/mm] so dass
(i) [mm] M\capU=\{x\inU: f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0 \}
[/mm]
(ii) rang [mm] (\bruch{\partial(f_1,...,f_{n-k})}{\partial(x_1,...,x_n)}(a))=n-k
[/mm]
Für die obige Aufgabe folgt dann: [mm] gradf_1(x,y,z)=(2x+y; [/mm] x-1; -1) und [mm] gradf_2(4x+3y; [/mm] 3x-2; -3)
[mm] gradf_1 [/mm] und [mm] gradf_2 [/mm] sind linear unabhängig entlang M und
[mm] \bruch{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y,z)}=\pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 }
[/mm]
jetzt muss ich doch eingentlich nur noch zeigen das die Matrix den Rang 2 hat, oder? Aber wie kann ich das machen? genugt es die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form zu bringen? Und muss ich irgendwelche bedingungen für x,y,z beachten? Großen Dank für Eure Hilfe.
Was die Parametrisierung betrifft, fehlt mir noch eine Idee für den richtigen Ansatz, vielleicht könnt Ihr mir auch da weiterhelfen. Bis jetzt hab ich da nur gezeigt, dass [mm] f_1(t,t^2,t^3)=f_2(t,t^2,t^3)=0 [/mm] ist.
LS studiseb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 So 29.05.2016 | | Autor: | hippias |
Ich habe nichts nachgerechnet!
> Seien f,g: [mm]\IR^3\to?\IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f_1(x,y,z)=x^2+xy-y-z[/mm] und [mm]f_2(x,y,z)=2x^2+3xy-2y-3z[/mm]
> uns sei [mm]M:={(x,y,z)\in\IR^3 | f_1(x,y,z)=f_2(x,y,z)=0}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass M eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^3[/mm] ist und das [mm]\phi:\IR\toM, \phi(t,t^2,t^3)[/mm] für jedes
> [mm]a\inM[/mm] eine lokale Parametrisierung ist.
> Moin, in der Vorlesung haben wir so viele verschiedene
> Definitionen einer Untermannigfaltigkeit (UMF)
> kennengelernt, so dass ich da etwas den Überblick verloren
> habe und bei obiger Aufgabe ins Stocken geraten bin. Es
> wäre nett, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet.
>
> Ich möchte die Aufgabe mit folgender Defintion lösen.
> Eine Teilmenge M [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt k-dim. UMF der Klasse
> [mm]C^l[/mm] falls es zu jedem Punkt [mm]a\inM[/mm] eine offene Umgebung U
> von a in [mm]\IR^n[/mm] gibt und [mm]C^l-Funktionen f_1,...,f_{n-k}:U\to\IR,[/mm]
> so dass
> (i) [mm]M\capU=\{x\inU: f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0 \}[/mm]
> (ii) rang
> [mm](\bruch{\partial(f_1,...,f_{n-k})}{\partial(x_1,...,x_n)}(a))=n-k[/mm]
>
> Für die obige Aufgabe folgt dann: [mm]gradf_1(x,y,z)=(2x+y;[/mm]
> x-1; -1) und [mm]gradf_2(4x+3y;[/mm] 3x-2; -3)
>
> [mm]gradf_1[/mm] und [mm]gradf_2[/mm] sind linear unabhängig entlang M und
> [mm]\bruch{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y,z)}=\pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 }[/mm]
>
> jetzt muss ich doch eingentlich nur noch zeigen das die
> Matrix den Rang 2 hat, oder? Aber wie kann ich das machen?
Angenommen der Rang ist $<2$. An der 3. Spalte erkennst Du, dass nur eine einzige Möglichkeit gibt, wie die 2. Zeile ein Vielfaches der 1. sein kann. Arbeite mit dieser Zahl um die Annahme zu einem Widerspruch zu führen.
> genugt es die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form zu bringen? Und
> muss ich irgendwelche bedingungen für x,y,z beachten?
Zu beachten wäre, dass [mm] $(x,y,z)\in [/mm] M$ ist; hier aber spielt es keine Rolle.
> Großen Dank für Eure Hilfe.
>
> Was die Parametrisierung betrifft, fehlt mir noch eine Idee
> für den richtigen Ansatz, vielleicht könnt Ihr mir auch
> da weiterhelfen. Bis jetzt hab ich da nur gezeigt, dass
> [mm]f_1(t,t^2,t^3)=f_2(t,t^2,t^3)=0[/mm] ist.
Benutze das Gleichungssystem [mm] $f_{1}(x,y,z)=0= f_{1}(x,y,z)$ [/mm] um zwei der drei Unbekannten durch die 3. darzustellen.
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> LS studiseb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Mo 30.05.2016 | | Autor: | studiseb |
Super, vielen Dank für die Denkanstöße.
Ich hab meine Matrix wie folgt umgeformt und hier erkennt man leicht, dass es keine Möglichkeit gibt, eine Nullzeile zu bekommen, somit muss der Rang der Matrix also 2 sein. 
[mm] \pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 } \to [/mm] (II+(-3)*I) [mm] \to \pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ -2x & 1 & 0 }
[/mm]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Super, vielen Dank für die Denkanstöße.
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> Ich hab meine Matrix wie folgt umgeformt und hier erkennt
> man leicht, dass es keine Möglichkeit gibt, eine Nullzeile
> zu bekommen, somit muss der Rang der Matrix also 2 sein.
>
>
> [mm]\pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 } \to[/mm]
> (II+(-3)*I) [mm]\to \pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ -2x & 1 & 0 }[/mm]
>
> LG
Alles O.K.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Zur Parametrisierung:
Aus
[mm] f_1(x,y,z)=x^2+xy-y-z=0 [/mm] $ und $ [mm] f_2(x,y,z)=2x^2+3xy-2y-3z= [/mm] $
folgt z=xy und daraus [mm] y=x^2. [/mm] Zeige dies !
FRED
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