Untermannigfaltigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Do 23.10.2008 | | Autor: | Tina3 |
| Aufgabe | Sei [mm]f: (\bruch{\pi}{2},\bruch{5\pi}{2})\to\IR^{2}, f(t)=(cos(t),sin(2t))[/mm]. Zeige:
a) f ist eine injektive Immersion
b)f ist keine Einbettung
c)[mm]Im(f)=\{(x^{2}+y^{2})^2-2x^{2}+2y^{4}=0\}[/mm]
d)Im(f) ist keine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{2}, [/mm] aber [mm]Im(f)\backslash\{(0,0)\}[/mm] ist eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2}[/mm] |
Diese Aufgabe bereitet mir einige Schwierigkeiten:
zu b) Ich muss ja zeigen, dass [mm] f^{-1} [/mm] kein homoömorphismus ist also dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen müsste ich doch eigentlich die Umkehrabbildung von cos(t) und sin(2t) bestimmen.Da diese auf dem ganzen Intervall jedoch nicht umkehrbar sind reicht es dann zu sagen es gibt keine Umkehrabbildung und damit ist es kein Homöomorphismus oder liege ich total falsch?
zu c) gezeigt habe ich bereits, dass [mm]f(t) \subset Im(f)[/mm]
jedoch weiß ich nicht wie ich [mm]Im(f) \supset f(t)[/mm] zeigen soll, d.h. ich weiß generell nicht wie ich von einer menge die dargestellt ist wie Im(f) auf eine Parametrisierung kommen soll?
zu d) Kann mir jemand eventuell einen Ansatz nennen?
Lieben Gruß und Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Do 23.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tina!
> Sei f: [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{5\pi}{2})\to\IR^{2},[/mm]
> f(t)=(cos(t),sin(2t)). Zeige:
> a) f ist eine injektive Immersion
> b)f ist keine Einbettung
> [mm]c)Im(f)=\{(x^{2}+y^{2})^2-2x^{2}+2y^{4}=0\}[/mm]
> d)Im(f) ist keine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2},[/mm] aber
> [mm]Im(f)\backslash\{(0,0)\}[/mm] ist eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2}[/mm]
> Diese Aufgabe bereitet mir einige Schwierigkeiten:
> zu b) Ich muss ja zeigen, dass [mm]f^{-1}[/mm] kein homoömorphismus
> ist also dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist. Um die
> Umkehrabbildung zu bestimmen müsste ich doch eigentlich die
> Umkehrabbildung von cos(t) und sin(2t) bestimmen.Da diese
> auf dem ganzen Intervall jedoch nicht umkehrbar sind reicht
> es dann zu sagen es gibt keine Umkehrabbildung und damit
> ist es kein Homöomorphismus oder liege ich total falsch?
Nicht ganz. Du bist auf der richtigen Spur.
Ich fange mal so an: wenn es sich um die Abbildung [mm] $f(t)=(\cos [/mm] t [mm] ,\sin [/mm] t)$ handeln würde, dann wäre sie umkehrbar, denn es handelt sich um die eineindeutige Abbildung des Intervalls auf den Einheitskreis. Aber auch dann wäre jede der Funktionen [mm] $\cos [/mm] t$ und [mm] $\sin [/mm] t$ für sich nicht umkehrbar.
Bei der vorliegenden Funktion passiert aber etwas anderes: während [mm] $\cos [/mm] t$ beim Durchlaufen von [mm](\bruch{\pi}{2},\bruch{5\pi}{2})[/mm] eine Periode durchläuft, durchläuft [mm] $\sin [/mm] (2t)$ zwei Perioden, und damit ist sie an den Rändern des Intervalls nicht stetig umkehrbar. Das kannst du auf zwei verschiedene Weisen sehen: du kannst die Identität [mm] $\sin(2t)=2\sin [/mm] t [mm] \cos [/mm] t$ benutzen oder dir das Bild von f anschauen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wobei der scheinbare Kreuzungspunkt zu [mm] $t=3\pi/2$ [/mm] gehört, die Linie von rechts unten nach links oben enthält diesen Punkt nicht: Weil es sich um das offene Intervall [mm] $(\pi/2,5\pi/2)$, [/mm] beginnt der Durchlauf nicht im Ursprung, sondern sozusagen unmittelbar daneben. Es geht dann nach links unten weiter. Am anderen Ende des Intervalls kommen wir auch dem Ursprung beliebig nahe, erreichen ihn aber nicht. Was passiert also im Ursprung?
> zu c) gezeigt habe ich bereits, dass f(t) [mm]\subset[/mm] Im(f)
> jedoch weiß ich nicht wie ich Im(f) [mm]\supset[/mm] f(t) zeigen
> soll, d.h. ich weiß generell nicht wie ich von einer menge
> die dargestellt ist wie Im(f) auf eine Parametrisierung
> kommen soll?
Das ist mir nicht klar. Ich wäre so vorgegangen: Wenn du [mm] $x=\cos [/mm] t$ und [mm] $y=\sin(2t)=2 \sin [/mm] t [mm] \cos [/mm] t$ setzt, ist
[mm]y^2 = 4 \sin^2 t \cos^2 t = 4(1-\cos^2 t)\cos^2 t) = 4 x^2 - 4 x^4 [/mm].
Wie man auf die angegebene Darstellung kommt, sehe ich im Moment nicht.
Schreib doch mal auf, was du schon hast!
> zu d) Kann mir jemand eventuell einen Ansatz nennen?
Schau dir das Bild an! 
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:52 Sa 25.10.2008 | | Autor: | side |
eine Frage zu Aufgabenteil b) reicht es denn as Begründung für die Unstetigkeit der Umkehrabbildung zu sagen, dass cos(t) in der gleichen Zeit eine Periode durchläuft, die sin(2t) für 2 Perioden braucht und somit die Funktion an den Rändern des Intervalls nicht stetig umkehrbar ist, oder muss ich das noch näher zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 28.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:13 Sa 25.10.2008 | | Autor: | side |
Außerdem hab ich noch eine Frage zu aufabe d)
Man soll ja zeigen, dass Im(f) nur ohne (0,0) eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Wir hatten in der Vorlesung den Satz vom regulären Wert. Ich glaube, den muss man hier gebrauchen. Er lautet: Sei [mm] D\subset\IR^N [/mm] offen, [mm] F:D\to\IR^m [/mm] glatt, [mm] c\in\;Im(f) [/mm] regulärer Wert von F (d.h. in allen x mit [mm] x=F^{-1}(c) [/mm] ist F eine Submerssion). Dann ist [mm] F^{-1}(c) [/mm] eine (N-m)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^N.
[/mm]
Muss ich jetzt zeigen, dass df(a) in allen a außer a=(0,0) surjektiv ist? Hab ich es dann gezeigt? Und dann hab ich weiter das Problem: Wie stell ich die Jakobimatrix auf? Kann ich dafür die Darstellung mit den Parametern aus Teilc) gebrauchen?
danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 28.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!Sorry dass ich jetzt erst wieder reagiere ist nett dass du mir geantwortet hast!
ich hab aber immernoch ein paar probleme:
zu b) um auf die mir gestellte frage zu antworten ich würde also sagen im ursprung ist eine sprungstelle weshalb es da nicht stetig ist. Trotzdem hätte ich ein problem damit formal jetzt zu zeigen, dass es kein homöomorphismus ist...
zu c) also wie gesagt habe ich ja bereits gezeigt, dass f(t) [mm] \subset [/mm] Im(f) und zwar indem ich in die Gleichung [mm] y^{2}-4x^{2}+4x^{4}=0 [/mm] für x cos(t) und für y sin(2t) eingesetzt habe und gezeigt habe dass die gleichung dann stimmt. deswegen verstehe ich nicht warum du als ansatz für die andere richtung auch y=sin(2t) setzt?
Danke für deine Antwort
lieben gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 So 26.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!Sorry dass ich jetzt erst wieder reagiere ist nett
> dass du mir geantwortet hast!
> ich hab aber immernoch ein paar probleme:
> zu b) um auf die mir gestellte frage zu antworten ich
> würde also sagen im ursprung ist eine sprungstelle weshalb
> es da nicht stetig ist. Trotzdem hätte ich ein problem
> damit formal jetzt zu zeigen, dass es kein homöomorphismus
> ist...
Der Punkt ist, dass die Umkehrabbildung im Ursprung nicht stetig ist. Denn wenn du dich in dem Bild von links unten oder rechts oben an den Ursprung annäherst, so nähert sich t einem der beiden Ränder des Intervalls. Aber: [mm] $f(3\pi/2) [/mm] = (0,0)$, also [mm] ist$f^{-1}(0,0)) [/mm] = [mm] 3\pi/2$.
[/mm]
> zu c) also wie gesagt habe ich ja bereits gezeigt, dass
> f(t) [mm]\subset[/mm] Im(f) und zwar indem ich in die Gleichung
> [mm]y^{2}-4x^{2}+4x^{4}=0[/mm] für x cos(t) und für y sin(2t)
> eingesetzt habe und gezeigt habe dass die gleichung dann
> stimmt. deswegen verstehe ich nicht warum du als ansatz für
> die andere richtung auch y=sin(2t) setzt?
Du hast mich mit der falschen Formel verwirrt was da in der aufgabe steht, stimmt nicht. Deswegen wollte ich verstehen, was du getan hast.
Du hast insofern recht, als dass diese Identität (Einsetzen von Sinus und Cosinus) nicht ganz ausreicht. Du musst noch zeigen, dass es keine anderen Punkte im [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt, die die algebraische Gleichung erfüllen. Es ist:
[mm] 0 \le
Da x alle Werte im Intervall $[-1,-1]$ annimmt, kannst du [mm] $x=\cos [/mm] t$ setzen, und da du die trigonometrische Identität nachgewiesen hast, bist du fertig.
Viele Grüße
Rainer
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