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| Aufgabe | Es sei [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x,y)= [mm] (x^2+y^2+2x)^2-4(x^2+y^2)
[/mm]
Für welches [mm] c\in\IR [/mm] f^-1(c) eine Untermannigf. |
Ich hab mir schon meine gedanken gemacht und wollte diese Aufgabe mit dem regulären Wert lösen.
D.h. zu zeigen ist.
Ein c ∈ R heißt regulärer Wert von f, falls das Urbild von c keine kritischen Punkte
von f enthält, d.h. df (x,y) surjektiv ist für alle x,y ∈ f^(−1)(a) oder [mm] f^1−1(a) [/mm] = ∅.
x ist kritischer Punkt, wenn ∇f = 0 ∈ R. a ∈ R ist regulärer Wert, falls ∇f(x) iungleich null
Ich habe den gradient gebildet und erhalte:
grad f(x,y)= [mm] (2(x^2+y^2+2x)(2x+2)-8x [/mm] , [mm] 2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y)
[/mm]
Meines erachtesn sind die kritsichen stellen, diejenigen, die null werden beim gradienten. sprich die Extremstellen der von f(x,y).
Müsste jetzt die nullstelen bestimmen bekomme aber wenn ich die partielle ableitung von y nach y auflöse und dann in die partielle Ableitung von x einsetzte einen wiederspruch.
Bitte um hilfe und falls ich komplett auf dem falschen weg bin, bitte um tipps und am besten die Definition gleich mit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x,y)=
> [mm](x^2+y^2+2x)^2-4(x^2+y^2)[/mm]
> Für welches [mm]c\in\IR[/mm] f^-1(c) eine Untermannigf.
> Ich hab mir schon meine gedanken gemacht und wollte diese
> Aufgabe mit dem regulären Wert lösen.
>
> D.h. zu zeigen ist.
> Ein c ∈ R heißt regulärer Wert von f, falls das Urbild
> von c keine kritischen Punkte
> von f enthält, d.h. df (x,y) surjektiv ist für alle x,y
> ∈ f^(−1)(a) oder [mm]f^1−1(a)[/mm] = ∅.
> x ist kritischer Punkt, wenn ∇f = 0 ∈ R. a ∈ R ist
> regulärer Wert, falls ∇f(x) iungleich null
>
> Ich habe den gradient gebildet und erhalte:
> grad f(x,y)= [mm](2(x^2+y^2+2x)(2x+2)-8x[/mm] ,
> [mm]2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y)[/mm]
> Meines erachtesn sind die kritsichen stellen, diejenigen,
> die null werden beim gradienten. sprich die Extremstellen
> der von f(x,y).
> Müsste jetzt die nullstelen bestimmen bekomme aber wenn
> ich die partielle ableitung von y nach y auflöse und dann
> in die partielle Ableitung von x einsetzte einen
> wiederspruch.
Welcher Widerspruch?
Hast du die Fälle korrekt unterschieden, zb. folgt aus [mm] $2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y=0 [/mm] $ entweder $y=0$ oder [mm] $x^2+y^2+2x=2$, [/mm] und du musst beide Fälle getrennt betrachten.
Viele Grüße
Rainer
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Hier ist es ja klar:
$ [mm] 2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y=0 [/mm] $ für y= 0 ist die gleichung null. Jetzt müsste ich doch in die partielle ableitung naxh, y=0 setzten und erhalte
[mm] x^3+x^2-x+4, [/mm] wie bekomme ich hier jetzt die nullstellen raus.
Weitere farge wäre, wie du auf
$ [mm] x^2+y^2+2x=2 [/mm] $ kommst, woher stammt das.
Kleine Rückfrage zu der aufgabe. Habe ich den das Prinzip verstanden, wie oben beschrieben so richtig???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 So 13.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hier ist es ja klar:
> [mm]2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y=0[/mm] für y= 0 ist die gleichung null.
> Jetzt müsste ich doch in die partielle ableitung naxh, y=0
> setzten und erhalte
> [mm]x^3+x^2-x+4,[/mm]
Nein, da hast du dich verrechnet. Du kannst doch x ausklammern:
[mm] 2(x^2+2x)(2x+2)-8x = 0 \gdw 4x( (x+2)(x+1) -2 )= 0 [/mm]
> Weitere farge wäre, wie du auf
> [mm]x^2+y^2+2x=2[/mm] kommst, woher stammt das.
[mm]2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y=0 \gdw 4y(x^2+y^2+2x-2)=0[/mm]
> Kleine Rückfrage zu der aufgabe. Habe ich den das Prinzip
> verstanden, wie oben beschrieben so richtig???
Du suchst di Punkte, an denen der Gradient 0 ist, das sind die singulären Punkte. Wie du richtig ausgerechnet hast, sind das die Lösungen des Gleichungssytems
[mm] 2(x^2+y^2+2x)(2x+2)-8x = 0 [/mm] , [mm] 2(x^2+y^2+2x)(2y)-8y = 0 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Habe ann sowiet alles verstanden. Hätte nur eine letzte frage und zwar soll ich ja für die Aufgabe das c angeben für die es eine Untermann. ist angeben. Ein kritischer Punkt war ja (0,0), was wäre dann mein c ???
Das würde für mich heißen $ [mm] c\in\IR [/mm] $/(0,0),....(alle kritishcen Punkte)
Hab ich das so richtig verstanden???
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Habe soweit alles verstanden. Hätte nur eine letzte frage und zwar soll ich ja für die Aufgabe das c angeben für die es eine Untermann. ist. Ein kritischer Punkt war ja (0,0), was wäre dann mein c ???
Das würde für mich heißen $ [mm] c\in\IR [/mm] $/(0,0),....(alle kritishcen Punkte)
Hab ich das so richtig verstanden???
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Hi, ich muss die Aufgabe auch gerade machen!^^
Ich komme auch nicht so richtig weiter,
aber zu deiner Frage: Ich habs so verstanden:
Ein regulärer Punkt ist ein Punkt, für den die Jakobi-Matrix/ der Gradient nicht verschwindet.
Ein regulärer WERT ist ein Funktionswert, dessen Urbilder alle reguläre Punkte sind.
D.h. du berechnest den Gradienten und seine Nullstellen, setzt diese in die Funktion ein und guckst, welche c#s du dafür heraus bekommst- diese c#s sind dann KEINE regulären Werte und dann hast du keine UMFK.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 15.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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