Untermannigfaltigkeit, TpM < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] $M:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3| x^2+y^2+z=0 \text{und} z^2=1\}$ [/mm] eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ist und geben Sie eine Basis des Tangentialraumes $T_pM$ am Punkt [mm] $p=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}, -1)\in\mathbb{R}^3$ [/mm] an. |
Hi,
um zu zeigen, dass M eine 1-dimensinonale Untermannigfaltigkeit ist würde ich den Satz vom regulären Wert anwenden. Ich bestimme also den Gradienten, welcher ungleich Null sein muss. Dies ist offensichtlich der Fall:
[mm] $\operatorname{grad} M=\begin{pmatrix}2x\\2y\\1\end{pmatrix}\neq [/mm] 0$
Kann ich an dem Gradienten nun auch die Dimension der Untermannigfaltigkeit ablesen? Ist sie 1, weil sich im dritten Eintrag des Gradienten nichts ändert?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
Satz vom regulären Wert ist eine gute Idee, allerdings bestimmst du nicht den Gradienten von M, sondern die Jacobi-Matrix von einer geeigneten Funktion, die auf einer offenen Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert ist und untersuchst ihren Rang . Die Dimension der Mannigfaltigkeit ergibt sich aus der Dimension der Zielmenge dieser Funktion, in diesem Fall ist das 3-2.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann betrachte ich also zum Beispiel die Funktion
[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z$
[/mm]
wobei [mm] $z^2=1$
[/mm]
Hier wären Gradient und Jacobi-Matrix doch identisch, oder?
[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x\\2y\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
Ich habe jetzt eher an eine vektorwertige Funktion gedacht.
Natürlich könnte man auch M als Vereinigung von zwei Mannigfaltigkeiten [mm] M_{\pm}$ [/mm] auffassen. Zu zeigen wäre dann, dass [mm] $M_{\pm}=\{(x,y,z)|x^2+y^2\pm 1=0\}$ [/mm] eindimensionale Umf sind. Ferner wäre zu begründen, wieso hieraus folgt, dass M eine UMf ist.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Entschuldigung, aber ich verstehe gerade nicht so ganz was du mit vektorwertige Funktion meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist (bei mir) eine Funktion, die als Zielmenge [mm] $\IR^n$, $n\ge [/mm] 2$ (oder eine Teilmenge) hat.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich soll nun also eine zwei dimensionale Abbildung angeben, also eine Funktion
[mm] $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
ja, mit [mm] $f^{-1}(0)=M$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich verstehe irgendwie nie so recht was nun damit gemeint ist. Das kommt auch in dem Satz vom regulären Wert vor mit [mm] $f^{-1}$. [/mm] Heißt das, das ich jetzt die Umkehrfunktion bestimmen soll und dann da den Wert Null einsetzen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Do 02.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, das ist das Urbild von 0, also [mm] $f^{-1}(0):=\{x|f(x)=0\}$. [/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Do 02.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ahhh
Und ich muss jetzt die Funktion so angeben, dass für alle [mm] $x\in [/mm] M$ $f(x)=0$ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Fr 03.10.2014 | | Autor: | andyv |
korrekt.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Fr 03.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Da M nur Tripel enthält für die [mm] x^2+y^2+z=0 [/mm] gilt, könnte ich nun ja
[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z$ [/mm] nehmen. Das bildet dann natürlich auch immer auf Null ab. Aber ich suche eine Funktion die nur von zwei Variablen abhängt.
Dann müsste es
[mm] $f(x,y)=x^2+z^2-1$ [/mm]
tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 03.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein,
1. Die Funktion sollte schon auf einer offenen Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert sein, da ja M eine Teilmannigfaltigkeit von [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
2. Es muss sowohl $f(x)=0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$, als auch $x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in $\IR^3 [/mm] mit $f(x)=0$ gelten. bei deiner ersten Funktion ist nur eine Inklusion richtig.
Um das ein wenig abzukürzen: Man könnte die Funktion f: [mm] $\IR^3 \rightarrow \IR^2$, f(x,y,z)=\vektor{x^2+y^2+z \\ z^2-1} [/mm] betrachten. Für diese gilt offenbar [mm] M=f^{-1}(0). [/mm] Zu zeigen ist nun, dass [mm] $df_x$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ surjektiv ist.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Fr 03.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok.
Ich stelle also dann die Jacobi-Matrix auf:
[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x&2y&1\\0&0&2z\end{pmatrix}$
[/mm]
Edit: Quatsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Fr 03.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist richtig. Sind die Zeilen für $(x,y,z) [mm] \in [/mm] M$ linear unabhängig?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Fr 03.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, die Zeilen der Matrix sind linear unabhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Fr 03.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das sollte man natürlich auch begründen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:18 Fr 03.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, offensichtlich stimmen die erste und die zweite Zeile nur überein wenn man beide mit Null multiplizieren würde.
Da die zweite Zeile in den ersten beiden Einträgen eine Null hat und die erste Zeile in diesen Einträgen immer von Null verschieden ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Fr 03.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Hat hier jemand noch eine Anmerkung für micht?
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Fr 03.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
die Frage ist nicht, ob die Zeilen gleich sein können, sondern ob sie linear abhängig sind. Z. B. sind die Zeilen für z=0 zwar nicht gleich, aber linear abhängig.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Sa 04.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, schon klar. Das meinte ich damit. Also "bis auf ein vielfaches gleich" und das sie für Null linear abhängig sind ist ja klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 04.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Über weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 04.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wenn ich dich richtig verstanden habe, lautet deine Behauptung [mm] $r\cdot [/mm] v=s [mm] \cdot [/mm] w [mm] \gdw [/mm] r=s=0$, wenn $v$ und $w$ die Zeilen sind und $(r,s) [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
Und das ist für beliebige $(x,y,z)$ falsch, z.B. für die Punkte $(x,y,0)$.
Jedenfalls sind die beiden Zeilen genau dann linear abhängig, wenn $z=0$ oder $x=y=0$. In beiden Fällen ist aber $(x,y,z) [mm] \not\in [/mm] M$, somit ist das Differenzial [mm] $df_x$ [/mm] surjektiv für alle $x [mm] \in M=f^{-1}(0)$, [/mm] also $0$ regulärer Wert.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Sa 04.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke.
Ok, also ist die gewählte Abbildung surjektiv und somit M eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.
Nun muss ich noch die Basis an den Tangentialraum p bestimmen.
Der Punkt p liegt auf jeden Fall schon einmal in M.
Wie kann ich hier nun eine Basis bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 04.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Ok, also ist die gewählte Abbildung surjektiv und somit M
> eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.
>
Das Differential genauer genommen, f ist nicht surjektiv.
Den Tangentialraum kannst du nun ganz angenehm via $T_pM=Kern \ [mm] df_p$ [/mm] bestimmen. Anders gesprochen: Die Zeilenvektoren, bei p ausgewertet, bilden eine Basis von [mm] $T_pM^\perp$, [/mm] eine Basis von $T_pM$ ist durch das Kreuzprodukt der Zeilenvektoren gegeben.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 04.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, wir haben ja gezeigt, dass die Jacobi-Matrix surjektiv ist.
Ich setze nun also einfach den Punkt in die Jacobi-Matrix ein:
[mm] $\begin{pmatrix}2x&2y&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Und berechne das Kreuzprodukt aus der ersten und zweiten Zeile:
[mm] $(\sqrt{2}\,\,\, \sqrt{2}\,\,\, 1)\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}=-2$
[/mm]
Also:
[mm] $\langle\{-2\}\rangle$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 04.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das Kreuzprodukt ist (im Gegensatz zum Skalarprodukt, das du berechnest) ein äußeres Produkt, das Ergebnis ist wieder ein Element von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Dein Ergebnis kann auch schlecht stimmen, da $T_pM [mm] \subset \IR^3$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Sa 04.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, mein Ergebnis kam mir schon suspekt vor, da wenn ich nur ein Basiselement habe ich ja auch eigentlich die 1 hätte nehmen können.
Meinst du es dann so:
[mm] $\begin{pmatrix} \sqrt{2}&\sqrt{2}&1\\0&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\\sqrt{2}&0\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&4\end{pmatrix}$
[/mm]
Ansonsten verstehe ich deinen Beitrag wohl leider nicht. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 So 05.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, eher so was: [mm] $\vektor{0\\ 0 \\ -2} \times \vektor{\sqrt 2\\ \sqrt 2 \\ 1}$
[/mm]
Aber wenn dir das nichts sagt, kannst du auch [mm] $\begin{pmatrix} \sqrt{2}&\sqrt{2}&1\\0&0&-2\end{pmatrix}x=0$ [/mm] mit $\ [mm] x\in \IR^3$ [/mm] lösen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 So 05.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok. Dann hatte ich es sogesehen beim ersten mal richtig nur die falsche Multiplikation gewählt. :)
Habe gerade nachgesehen wie man mit dem Kreuzprodukt rechnet.
Das Ergebnis sollte
[mm] $\begin{pmatrix}-2\sqrt{2}\\-2\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
sein.
Hoffe ich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 So 05.10.2014 | | Autor: | andyv |
Bis auf einen Vorzeichenfehler ist das jetzt richtig.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 So 05.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Super.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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