Untermannigfaltigkeiten < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 18.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
| Aufgabe | | Sei M eine kompakte, orientierte k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n, [/mm] Beh: [mm] \integral_{M}{dw}=o [/mm] für jede (k-1)Form w auf M |
Die Lösung folgt mit dem Satz von Stokes:
[mm] \integral_{M}{dw}=\integral_{\partial M}{w}=\integral_{\emptyset}{w}=0
[/mm]
Meine Fragen dazu:
1. Wieso ist [mm] \partial [/mm] M = [mm] \emptyset? [/mm] Eine kompakte Menge hat doch einen Rand, also müsste dies auch für kompakte Mannigfaltigkeiten gelten.
2. Wieso macht die Behauptung überhaupt Sinn? Dann wäre ja das Integral immer Null für (k-1) Formen und der Satz von Stokes würde für kompakte UMF nichts bringen. Zudem war die Kompaktheit ja auch eine Voraussetzung für den Satz von Stokes...
Vielen Dank im Voraus!
Sarah
(unsere Formulierung Satz von Stokes:
M k-dimensionale kompakte UMF von [mm] \IR^n [/mm] orientiert, w (k-1)-Form auf M. Dann: [mm] \integral_{M}{dw}=\integral_{\partial M}{w}, [/mm] wobei [mm] \partial [/mm] M der Rand von M mit induzierter Ordnung bezeichnet.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 18.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> 1. Wieso ist [mm]\partial[/mm] M = [mm]\emptyset?[/mm] Eine kompakte Menge
> hat doch einen Rand, also müsste dies auch für kompakte
> Mannigfaltigkeiten gelten.
Der Rand ist hier nicht (nur) im topologischen Sinne zu betrachten - es gibt ja Definitionen von "Mannigfaltigkeit mit Rand", welche hatte ihr denn genau? Vielleicht hilft dir ja Wikipedia weiter.
> 2. Wieso macht die Behauptung überhaupt Sinn? Dann wäre ja
> das Integral immer Null für (k-1) Formen und der Satz von
> Stokes würde für kompakte UMF nichts bringen. Zudem war die
> Kompaktheit ja auch eine Voraussetzung für den Satz von
> Stokes...
Also: bei einer k-Mgf macht es (a priori) nur Sinn, k-Formen zu integrieren. Die (k-1)-Form wird nun durch das Differential d eben zu einer k-Form. Anders gesagt: falls du eine k-Form hast die von einer (k-1)-Form durch Anwendung vond hervorkommt, ist ihr Integral 0.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 18.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Also die Def. des Randes:
Das sind alle Punkte für die gilt h(U [mm] \bigcap [/mm] M) = V [mm] \bigcap (H^{k} \times [/mm] {0}) = {y [mm] \in [/mm] V sd. [mm] y^{k}\ge [/mm] 0, [mm] y^{k+1} [/mm] = [mm] y^{k+2} [/mm] = ... = [mm] y^{n} [/mm] = 0} wobei h Diffeo U offene Umg. von x in M... etc.
Wenn M kompakt lässt es sich durch endlich viele offene Mengen überdecken... weshalb gibt es dann keine Punkte, die obiges erfüllen?
zum 2. Punkt: wir hatten beim Satz von Stokes immer von w als (k-1)-Formen gesprochen. War das somit ein Fehler? (Den Satz habe ich in unserer Formulierung bei der ersten Fragestellung angehängt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 18.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wenn M kompakt lässt es sich durch endlich viele offene
> Mengen überdecken... weshalb gibt es dann keine Punkte, die
> obiges erfüllen?
Naja, weil wenn man einen Rand hat, man normalerwiese von einer Mgf. mit Rand redet. Lässt man dies weg, hat die Mgf. keinen Rand.
> zum 2. Punkt: wir hatten beim Satz von Stokes immer von w
> als (k-1)-Formen gesprochen. War das somit ein Fehler? (Den
> Satz habe ich in unserer Formulierung bei der ersten
> Fragestellung angehängt)
(k-1)-Form auf dem Rand, k-Form auf der ganzen Mgf. Immer top-dimensional!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 18.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Sorry das seh ich immer noch nicht...
Zu 1: dann spielt es gar keine Rolle das M kompakt ist, sondern nur das es gar keinen Rand hat? Wenn das so ist, habe ich diesen Teil soweit verstanden.
Zu 2: Ich habe mir die Formulierungen von Aufgabenstellung und Satz nochmals angeschaut und keinen Unterschied festgestellt. Weshalb ist es bezüglich Rand eine (k-1)-Form? Wegen dem dw? Und wie ist es dann im Satz gemeint, dort hat man ja auf der linken Seite das gleiche stehen wie in der Aufgabe? Zudem ist im Satz von Stokes auch nicht die Rede von M als Mannigfaltigkeit mit Rand, sondern nur von einer kompakten UMF...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 18.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Zu 1: dann spielt es gar keine Rolle das M kompakt ist,
> sondern nur das es gar keinen Rand hat? Wenn das so ist,
> habe ich diesen Teil soweit verstanden.
Man muss halt auch noch integrieren dürfen - und das habt ihr wohl nur für kompakte Mgf. (mit oder ohne Rand) erklärt, oder?
> Zu 2: Ich habe mir die Formulierungen von Aufgabenstellung
> und Satz nochmals angeschaut und keinen Unterschied
> festgestellt. Weshalb ist es bezüglich Rand eine
> (k-1)-Form?
Du hast eine k Mgf., eine (k-1)-Form w und daher ist [m]dw[/m] eine k-Form.
> Wegen dem dw? Und wie ist es dann im Satz
> gemeint, dort hat man ja auf der linken Seite das gleiche
> stehen wie in der Aufgabe?
Welcher Satz? Der von Stokes? Ja, das ist ziemlich das gleiche - wie man ja am Beweis erkennt.
> Zudem ist im Satz von Stokes
> auch nicht die Rede von M als Mannigfaltigkeit mit Rand,
> sondern nur von einer kompakten UMF...
Soweit ich ihn benutzt habe, ist er für Mgf. mit Rand. Der randlose Fall ist eben damit eingeschlossen, dass er leer ist.
Falls du den Beweis nicht magst, kannst du dir gerne mal den Beweis vom Satz von Stokes anschauen und direkt die Behauptung beweisen. Jedenfalls bei dem Beweis, den ich im Kopf habe, hat man eine Fallunterschiedung bei der Partition in offene Mengen - und bei leerem Rand fällt eine Weg.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 So 18.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Also ich glaube ich habe rausgekriegt wo das Problem war. Unser Professor hat einfach bei den Voraussetzungen des Satzes von Stokes weggelassen, dass M eine UMF MIT RAND ist, was aber eigentlich hingehört.
Dann bin ich auch völlig einverstanden mit der Lösung der Aufgabe. Wenn man natürlich nur eine UMF hat, ist der Rand einfach leer und man hat einen Trivialfall... also einfach =0 für das Integral von dw.
Mich hat nur verwirrt, das dies dann auch generell für den Satz von Stokes gelten würde... was natürlich nicht stimmt. War aber einfach ein vergessenes Wort in unserer Vorlesung schuld  )
Also vielen Dank für die ganzen Antworten und sorry für die ganze Verwirrung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sarah!
> Sei M eine kompakte, orientierte k-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n,[/mm] Beh: [mm]\integral_{M}{dw}=o[/mm]
> für jede (k-1)Form w auf M
> Die Lösung folgt mit dem Satz von Stokes:
> [mm]\integral_{M}{dw}=\integral_{\partial M}{w}=\integral_{\emptyset}{w}=0[/mm]
>
> Meine Fragen dazu:
> 1. Wieso ist [mm]\partial[/mm] M = [mm]\emptyset?[/mm] Eine kompakte Menge
> hat doch einen Rand, also müsste dies auch für kompakte
> Mannigfaltigkeiten gelten.
Das Paradebeispiel ist die Kugeloberfläche im [mm] $\IR^3$. [/mm] Sie ist kompakt und geschlossen, also ohne Rand.
Im topologischen Sinne, also als Teilmenge des [mm] $\IR^3$, [/mm] hat sie natürlich Randpunkte, genauer gesagt besteht sie nur aus Randpunkten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 18.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Ah ok, das mit der Kugeloberfläche leuchtet ein... aber mir ist immer noch nicht klar, weshalb das generell für kompakte UMF gelten soll.
Ich habe ja kein konkretes Beispiel gegeben. Eine Antwort die ich bekommen habe ist, das wenn der Rand nicht explizit erwähnt ist, dann hat die UMF keinen Rand. Dann habe ich aber ein Problem mit dem Satz (Formulierung siehe Fragestellung), dort ist es nämlich auch nicht eine UMF mit Rand, sondern nur eine UMF... dann würde der Satz von Stokes ja keinen Sinn machen???
-Sorry bin etwas verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 18.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ah ok, das mit der Kugeloberfläche leuchtet ein... aber mir
> ist immer noch nicht klar, weshalb das generell für
> kompakte UMF gelten soll.
Was soll gelten? Der topologische Rand ist nicht umbedingt der Rand von "Mgf. mit Rand". Meinst du das?
> Ich habe ja kein konkretes Beispiel gegeben. Eine Antwort
> die ich bekommen habe ist, das wenn der Rand nicht explizit
> erwähnt ist, dann hat die UMF keinen Rand. Dann habe ich
> aber ein Problem mit dem Satz (Formulierung siehe
> Fragestellung), dort ist es nämlich auch nicht eine UMF mit
> Rand, sondern nur eine UMF... dann würde der Satz von
> Stokes ja keinen Sinn machen???
Wieso würde was keinen Sinn machen? Der Rand ist halt eben leer - wie mit der Kugeloberfäche.
SEcki
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