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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 03.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Hallo Matheraum!
Im folgenden geht es um abstrakte Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal-euklidische Räume (insbsesondere Hausdorff, Zweit-Abzählbar) mit einer diffbaren Struktur (=maximaler glatter Atlas), und alles was glatt sein ist im folgenden glatt. Wir haben definiert:
Seien [mm]S,M[/mm] MFen. Dann heißt [mm]S[/mm] Untermannigfaltigkeit von [mm]M[/mm], falls es eine Einbettung [mm]j:S\to M[/mm] gibt, d.h. [mm]j[/mm] ist eine glatte Immersion, die auch noch ein Homöomorphismus auf das Bild j(S) (mit der Teilraum-Topologie) ist.
Nun Frage mich ob folgende Aussage wahr ist: Sind [mm]S,M[/mm] MFen und ist [mm]S\subset M[/mm], so ist [mm]S[/mm] eine UMF von [mm]M[/mm] genau dann, wenn die Inklusion [mm]i:S\ni x\mapsto x\in M[/mm] eine Einbettung ist.
Entscheidend ist natürlich die Hinrichtung. Ich scheitere leider schon daran zu zeigen, dass die Inklusion eine topologische Einbettung ist...
Viele Grüße,
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:30 Di 04.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Nur zur Info: die Behauptung nach der ich gefragt habe ist wahrscheinlich falsch. Ein Gegenbeispiel habe ich aber noch nicht konstruiert.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:44 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Im folgenden geht es um abstrakte Mannigfaltigkeiten, d.h.
> lokal-euklidische Räume (insbsesondere Hausdorff,
> Zweit-Abzählbar) mit einer diffbaren Struktur (=maximaler
> glatter Atlas), und alles was glatt sein ist im folgenden
> glatt. Wir haben definiert:
>
> Seien [mm]S,M[/mm] MFen. Dann heißt [mm]S[/mm] Untermannigfaltigkeit von [mm]M[/mm],
> falls es eine Einbettung [mm]j:S\to M[/mm] gibt, d.h. [mm]j[/mm] ist eine
> glatte Immersion, die auch noch ein Homöomorphismus auf
> das Bild j(S) (mit der Teilraum-Topologie) ist.
Die Definition ist nicht so toll, da man nicht irgendeine Einbettung $j : S [mm] \to [/mm] M$ haben will, sondern eine fest gewaehlte.
Das ist ja aehnlich wie bei Koerpererweiterungen: [mm] $\IF_4$ [/mm] kann man als Unterkoerper von [mm] $\IF_{16}$ [/mm] auffassen, aber auf zwei verschiedene Weisen! (Da [mm] $Aut(\IF_4) \cong \IZ/2\IZ$ [/mm] ist.)
Und sei $L := [mm] \IF_4 [/mm] = [mm] \{ 0, 1, \alpha, \alpha + 1 \}$ [/mm] und $K := [mm] \{ 0, \alpha \}$. [/mm] Dann kann man $K$ zu einem Koerper machen, indem man [mm] $\alpha \oplus \alpha [/mm] := 0 [mm] \oplus [/mm] 0 := 0$, [mm] $\alpha \oplus [/mm] 0 := 0 [mm] \oplus \alpha [/mm] := [mm] \alpha$, [/mm] $0 [mm] \odot [/mm] 0 := 0 [mm] \odot \alpha [/mm] := [mm] \alpha \odot [/mm] 0 := 0$ und [mm] $\alpha \odot \alpha [/mm] := [mm] \alpha$ [/mm] setzt; dann ist $(K, [mm] \oplus, \odot)$ [/mm] ein Koerper, $(L, +, [mm] \cdot)$ [/mm] ist ein Koerper, und es gibt einen Koerpermonomorphismus $(K, [mm] \oplus, \odot) \to [/mm] (L, +, [mm] \cdot)$ [/mm] (durch $0 [mm] \mapsto [/mm] 0$, [mm] $\alpha \mapsto [/mm] 1$), weiterhin ist $K$ eine Teilmenge von $L$, jedoch ist $id : K [mm] \to [/mm] L$, $0 [mm] \mapsto [/mm] 0$, [mm] $\alpha \mapsto \alpha$ [/mm] kein Koerperhomomorphismus.
> Nun Frage mich ob folgende Aussage wahr ist: Sind [mm]S,M[/mm] MFen
> und ist [mm]S\subset M[/mm], so ist [mm]S[/mm] eine UMF von [mm]M[/mm] genau dann,
> wenn die Inklusion [mm]i:S\ni x\mapsto x\in M[/mm] eine Einbettung
> ist.
>
> Entscheidend ist natürlich die Hinrichtung. Ich scheitere
> leider schon daran zu zeigen, dass die Inklusion eine
> topologische Einbettung ist...
Hier hast du das gleiche Problem wie oben bei den Koerpern:
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und [mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to [/mm] M$ eine "wilde" Bijektion (wobei wild meint: weder [mm] $\pi$ [/mm] noch [mm] $\pi^{-1}$ [/mm] sind stetig). Sei [mm] $\tau$ [/mm] die Topologie von $M$. Dann sind $(M, [mm] \tau)$ [/mm] und $(M, [mm] \pi(\tau))$ [/mm] Mannigfaltigkeiten, und $M [mm] \subseteq [/mm] M$. Jedoch ist $id : (M, [mm] \tau) \to [/mm] (M, [mm] \pi(\tau))$ [/mm] nicht stetig (und die Umkehrfunktion ebensowenig).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Di 04.01.2011 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]M[/mm] eine Mannigfaltigkeit und [mm]\pi : M \to M[/mm] eine "wilde"
> Bijektion (wobei wild meint: weder [mm]\pi[/mm] noch [mm]\pi^{-1}[/mm] sind
> stetig). Sei [mm]\tau[/mm] die Topologie von [mm]M[/mm]. Dann sind [mm](M, \tau)[/mm]
> und [mm](M, \pi(\tau))[/mm] Mannigfaltigkeiten, und [mm]M \subseteq M[/mm].
> Jedoch ist [mm]id : (M, \tau) \to (M, \pi(\tau))[/mm] nicht stetig
> (und die Umkehrfunktion ebensowenig).
Das hat mir sehr geholfen, Danke.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 04.01.2011 | | Autor: | Merle23 |
Ja gut, normalerweise versteht man unter der Aussage [mm]S \subset M[/mm], dass S auch noch zusätzlich die Teilraumtopologie trägt. Wenn man das nämlich nicht implizit annimmt, so kommt man auf genau die Gegenbeispiele, die du hingeschrieben hast.
Da nämlich alle zweit-abzählbaren Mannigfaltigkeiten gleichmächtig sind, kann man immer mengentheoretische Bijektionen zwischen ihnen finden und damit die Topologien "hin und her schieben". Eine Aussage wie [mm]S \subset M[/mm] nur mengentheoretisch zu verstehen, hat also einfach keinen Sinn in diesem Kontext.
LG, Merle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja gut, normalerweise versteht man unter der Aussage [mm]S \subset M[/mm],
> dass S auch noch zusätzlich die Teilraumtopologie trägt.
Ja.
> Wenn man das nämlich nicht implizit annimmt, so kommt man
> auf genau die Gegenbeispiele, die du hingeschrieben hast.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber selbst, wenn $S$ und $M$ Mannigfaltigkeiten sind, $S [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt, und $S$ die Teilraumtopologie von $M$ traegt, muessen beide noch nicht kompatible Atlanten haben (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier).
Eine interessante Frage ist nun: sind $S$ und $M$ Mannigfaltigkeiten mit $S [mm] \subseteq [/mm] M$, so dass $S$ die Teilraumtopologie von $M$ traegt, und gibt es eine Einbettung $S [mm] \to [/mm] M$, ist dann $id : S [mm] \to [/mm] M$ auch eine Einbettung? Ich tippe mal auf nein.
Bei komplexen Mannigfaltigkeiten kann man einfach ein Gegenbeispiel finden: sei $S = M = [mm] \IC$, [/mm] habe $S$ den Standardatlas, $M$ jedoch den komplex konjugierten Standardatlas (d.h. $f : M [mm] \to \IC$ [/mm] ist holomorph bzgl. dieses Atlas, falls [mm] $\overline{f}$ [/mm] holomorph bzgl. des Standardatlas ist). Dann haben $S$ und $M$ die gleiche Topologie, es gibt eine Einbettung (gegeben durch die komplexe Konjugation), jedoch ist die Identitaet keine Einbettung.
Fuer glatte (reelle) Mannigfaltigkeiten muss man schon mindestens die Dimension 4 anschauen, um solche Beispiele zu finden, aber es gibt sie auch (siehe der zweite Absatz hier).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Merle23 |
> Eine interessante Frage ist nun: sind [mm]S[/mm] und [mm]M[/mm]
> Mannigfaltigkeiten mit [mm]S \subseteq M[/mm], so dass [mm]S[/mm] die
> Teilraumtopologie von [mm]M[/mm] traegt, und gibt es eine Einbettung
> [mm]S \to M[/mm], ist dann [mm]id : S \to M[/mm] auch eine Einbettung? Ich
> tippe mal auf nein.
>
> ...
>
> Fuer glatte (reelle) Mannigfaltigkeiten muss man schon
> mindestens die Dimension 4 anschauen, um solche Beispiele
> zu finden, aber es gibt sie auch (siehe der zweite Absatz
> hier).
Dafür muss man nicht einmal exotische Strukturen betrachten; es reichen nicht-kompatible Karten schon aus.
Ein ganz einfaches Gegenbeispiel wären [mm](\IR, \operatorname{id})[/mm] und [mm](\IR, \varphi)[/mm] mit der Karte [mm]\varphi: (\IR, \varphi) \to \IR, \varphi (x) := \begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ 2x, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}.[/mm]
Dann ist [mm]\iota: (\IR, \operatorname{id}) \to (\IR, \varphi), \iota(x) := \begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ x/2, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm] eine topologische Einbettung (ja sogar ein Diffeomorphismus), aber [mm]\operatorname{id}: (\IR, \operatorname{id}) \to (\IR, \varphi)[/mm] ist nicht differenzierbar.
LG, Alex
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