Untermengen von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 11.02.2007 | | Autor: | shu4xue2 |
| Aufgabe | V sei ein Vektor-Raum, [mm] S_1, S_2 \subseteq [/mm] V, Beweise folgendes:
Wenn [mm] S_1 \subseteq S_2, [/mm] dann [mm] \left\langle S_1 \right\rangle \subseteq \left\langle S_2 \right\rangle [/mm] |
Hallo, ich bin neu hier, und das ist meine erste Frage, ich hoffe ich habe alles richtig angegeben und gegen keine Regel verstoßen.
Dazu ist die Aufgabe noch eine Übersetzung, da meine Mathe-Kurse auf Englisch sind (ich weis viele begriffe nur auf Englisch, sorry).
Meine Frage: Aus der Aufgabenstellung geht ja hervor, dass wenn [mm] S_1 [/mm] eine (proper) Untermenge ist, dann ist auch der erzeugte Vektorraum von [mm] S_1 [/mm] eine (proper) Untermenge von dem erzeugten Vektorraum [mm] S_2, [/mm] nur weis ich jetzt nicht, wie ich die Mengenoperation anwenden soll, dass heißt diesen Ausdruck [mm] \left\langle S_1 \right\rangle [/mm] umformen kann.
Auch ist mir unklar, wie ich generell das Verhältnis beweisgen kann. Ich hoffe jemand kann mir erklären, was ich als nächstes machen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> V sei ein Vektor-Raum, [mm]S_1, S_2 \subseteq[/mm] V, Beweise
> folgendes:
> Wenn [mm]S_1 \subseteq S_2,[/mm] dann [mm]\left\langle S_1 \right\rangle \subseteq \left\langle S_2 \right\rangle[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Betrachte [mm] .
[/mm]
Dieser Vektorraum hat eine Basis [mm] B_1 [/mm] aus Elementen aus [mm] S_1.
[/mm]
Da [mm] S_1 \subseteq S_2, [/mm] liegen diese Basiselemente in [mm] S_2, [/mm] und Du kannst sie durch weitere Vektoren aus [mm] S_2 [/mm] zu einer Basis [mm] B_2 [/mm] von [mm] [/mm] erganzen.
Du findest also Basen [mm] B_1 [/mm] bzw. [mm] B_2 [/mm] von [mm] S_1 [/mm] bzw. [mm] S_2 [/mm] so, daß [mm] B_1 \subseteq B_2, [/mm] und kannst nach diesen Vorüberlegungen leicht zeigen, daß jedes Element, welches in [mm] S_1 [/mm] liegt, auch in [mm] S_2 [/mm] ist.
Gruß v. Angela.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 13.02.2007 | | Autor: | shu4xue2 |
Vielen dank!!
Also kann ich praktisch sagen: wegen [mm] S_1 \subseteq S_2 [/mm] gilt für alle [mm]\vec s[/mm]: [mm] \vec s\in S_1\sub [/mm] , daraus folgt, dass [mm] \vec s\in S_2 \sub [/mm] , und somit ist auch [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec s\in \left\langle S_2 \right\rangle \sub [/mm] , und weil [mm]\vec s[/mm] sowohl in [mm] S_1 [/mm] als auch in [mm] S_2 [/mm] ist, sind auch die jeweiligen Linearkombinationen in [mm] \left\langle S_1 \right\rangle [/mm] und [mm] \left\langle S_2 \right\rangle [/mm] vertreten. Damit ist unsere Ausgangsbehauptung bewiesen (hoffe ich)
viele grüße , Sebastian
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