Untermoduln < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
hoffe jemand kann mir hier helfen!
Aber leider uberhauptkeine Ahnung, wie ich hier vorzugehen habe!
Brauche dringends Tipps!!
Wäre super!
Vielen Dank, viele Grüße, der mathedepp
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo zusammen,
kann mir niemand helfen?
Weiß was Untermoduln sind, und zerlegbar/unzerlegbar sind auch bekannt, aber wie ich in der Praxis hier vorzugehen habe, weiß ich leider immernoch nicht!
Benötige dringend Hilfe!
Viele Grüße, der mathedepp
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> und zerlegbar/unzerlegbar sind auch bekannt
Hallo,
mir nicht, bzw. ich hab's wahrscheinlich vergessen.
Mein Tip - gegeben in partieller Unkenntnis der Materie: Eigenwerte und -räume bestimmen.
Paßt das?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
(Disclaimer: ich kenn mich mit dem Thema auch nicht so gut aus, bin mir aber recht sicher, dass das hier so stimmt. :) )
> > und zerlegbar/unzerlegbar sind auch bekannt
>
> Hallo,
>
> mir nicht, bzw. ich hab's wahrscheinlich vergessen.
Ein Untermodul $U$ heisst unzerlegbar, wenn es keine Untermoduln $U', U'' [mm] \subseteq [/mm] U$ gibt mit $U = U' [mm] \oplus [/mm] U''$ und $U' [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] U''$.
> Mein Tip - gegeben in partieller Unkenntnis der Materie:
> Eigenwerte und -räume bestimmen.
Bzw. die Hauptraeume, falls die Matrix nicht diagonalisierbar sein sollte, und deren Zerlegung in Jordan-Kaestchen. Jeder Unterraum, der zu einem Jordan-Kaestchen gehoert, ist ein unzerlegbarer Untermodul.
Falls es echt komplexe Eigenwerte gibt, muss man sogar noch etwas allgemeiner ansetzen (es gibt da eine Theorie, die zu jeder reellen Matrix eine verallgemeinerte Jordan-Form liefert, wobei man halt bei echt komplexen Eigenwerte spezielle Kaestchen braucht).
Anders gesagt: man haette die Aufgabe auch ``finde die JNF von $A$ inkl. Transformationsmatrix'' nennen koennen, da es auf genau das gleiche hinauslaeuft 
LG Felix
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Hallo Felix,
viele Dank für deine Erläuterungen.
Habe das charakt. Polynom berechnet und komme da auf : [mm] p_A(\lambda)=\lambda^4+14\lambda^2-16\lambda+1
[/mm]
weiß dass es in [mm] \lambda=1 [/mm] eine Nullstelle hat, nach Polynomdivision komme ich nun auf:
[mm] \lmbda^3+\lambda2+15\lambda-1
[/mm]
jetzt weiß ich leider nicht merh weiter. zudem wir noch nie eine Jordanmatrix berechnet haben...ich weiß garnicht wie das geht?
kannst du mir nochmal helfen?
viele grüße, der mathedepp
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Hallo md,
du scheinst dich irgendwie verrechnet zu haben.
Ich erhalte für das char. Polynom von A:
[mm] $cp_A(\lambda)=(\lambda^2-1)^2=(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2$
[/mm]
Und das hat die Nullstellen [mm] $\pm1$
[/mm]
Also EWe [mm] $\lambda_1=1,\lambda_2=-1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Oh....danke für den Hinweiß Schachuzipus,
werd es gleich nochmal prüfen!
gruß, mathedepp
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ok habe es überprüft!
Komme auf die gleichen Eigenwerte!
Di Matrix ist allerdings nicht diagonalisierbar, da die geometrische Vielfachheit zum EW [mm] \lambda_1=-1 [/mm] eins ist und nicht 2, beim EW [mm] \lambda_2=1 [/mm] stimmen algebraische Vielfh. & geometr. Vielfh. überein.
Wie gehe ich jetzt weiter vor?
LG, mathedepp
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> Di Matrix ist allerdings nicht diagonalisierbar, da die
> geometrische Vielfachheit zum EW [mm]\lambda_1=-1[/mm] eins ist und
> nicht 2, beim EW [mm]\lambda_2=1[/mm] stimmen algebraische Vielfh. &
> geometr. Vielfh. überein.
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor?
Hallo,
wie an anderer Stelle erwähnt: ich müßte erst einiges nachlesen, daher nagele mich nicht fest...
Vielleicht kannst Du erstmal die Eigenvektoren zu 1 und -1 bestimmen.
Zum EW 1 müßtest Du ja 2 linear unabhängige Eigenvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bekommen.
[mm] U:=.
[/mm]
Jetzt berechne den Eigenvektor [mm] w_1 [/mm] zum Eigenwert -1,
Ergänze diesen durch einen (noch zu findenden) Vektor [mm] w_2 [/mm] zu einer Basis von [mm] Kern(A+1*E)^2.
[/mm]
Wenn mein witterndes Näschen mich nicht trügt, hast Du mit [mm] V=\oplus [/mm] dann die gesuchte Zerlegung gefunden.
Angaben ohne Gewähr.
Selbst, wenn's nicht 100% richtig ist, kannst Du vielleicht in diese Richtung überlegen oder im Skript suchen. ("Primärzerlegung" paßt dazu, glaube ich. So hättest Du zumindest den Jordan draußen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 10.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> jetzt weiß ich leider nicht merh weiter. zudem wir noch nie
> eine Jordanmatrix berechnet haben...ich weiß garnicht wie
> das geht?
Das ist schlecht, das brauchst du naemlich: die Jordansche Normalform besteht aus zwei Kaestchen; insbesondere ist die Matrix also nicht diagonalisierbar.
Irgendetwas werdet ihr aber in der Vorlesung gemacht haben muessen, was in etwa einer Jordan-Zerlegung entspricht. Eventuell unter anderem Namen?
LG Felix
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> jetzt weiß ich leider nicht merh weiter. zudem wir noch nie
> eine Jordanmatrix berechnet haben...ich weiß garnicht wie
> das geht?
Hallo,
als Hausfrau hat mich ein Kochrezept hocherfreut, welches ich mal in einem von Bastianes Posts gefunden habe:
![[]](/images/popup.gif) Kochen mit Jordan.
Vielleicht nützt's auch Dir.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 So 10.06.2007 | | Autor: | steefes |
hey..
ich verfole die diskussion schon länger,da ich mich auch damit beschätigen muss.
wir hatten wie der mathedepp schon sagte nichts in der richtung im skript.hatten nur ein beispiel an dem wir zeigen sollten dass es zerlegbar bzw unzerlegbar ist..ich komme da auch auf keinen grünen zweig.
danke schonmal für eure hilfe
lg steefes
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ok, dann werde ich jetzt mal versuchen die Normalform und die zugehörige Transformationsmatrix zu berechnen, mithilfe des Rezepts.
Habe dazu jetzt noch 3 fragen:
1. Ist es egal ob ich die 1-sen bei der Jordanform auf die obere oder untere Nebendiagonale schreibe??Wenn nein worin liegt der unterschied?
2. sind dann meine unzerlegbaren Untermoduln, einfach nur die Spaltenvektoren meiner Transformationsmatrix. Sprich ich nehme davon dann die direkte summe und bin fertig??
3. wie kann ich nachprüfen ob meine gewählte zerlegung richtig ist?
Habe das nämlich vor so aufzubauen:
Ich bestimme für mich die Jordanform und die Transformationsmatrix, setzte dann meine Behauptung auft, bzgl. der drekten summe der unzerlegbaren untermoduln. und zeige das dann.
dann muss ich ja auch meinem Aufgabenzettel die Jordanmatrix garnicht erwähnen.
Aber inwieweit spiel meine Abbildungsvorschrift eine Rolle, die habe ich ja jetzt nie angewendet??
Hoffe, ich könnt mir hier nochmal wieterhelfen.
viele Grüße, der mathedepp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 11.06.2007 | | Autor: | steefes |
ich hab unserm assistenten mal ne email geschrieben ob wir die aufgabe mit dem stoff den wir bisher hatten lösen können oder ob man dafür die jordan-form braucht..folgendes hat er geantwortet . ich zitiere
"also man die lösen, natürlich ist das mit der jordan-normalform viel einfacher,
aber zur not kann man einfach ausprobieren oder raten. die aufgabe soll zeigen,
das es nicht so einfach ist so einen modul zu zerlegen, wenn man nicht ein
gewissen theoretischen hintergrund nutzt.
denkt daran, das es eine rechenaufgabe ist, die lösung kann also vom himmel
fallen ...
"
ich gehe nun genauso wie du davon aus dass wir das so berechnen sollen wie du es sagst..somit is die lösung also vom himmel gefallen wie er so schön sagt und wir müssen dann nur noch beweisen, dass es so ist...
bitte auch um hilfe...es gehtnun für uns dem ende zu..dann habt ihr erstmal ruhe...
liebe grüße
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Hallo zusammen,
muß die Aufgabe auch bearbeiten  .
Wollte noch fragen wie es nun weiter geht wenn ich die Jordanform bestimmt habe. Seid ihr da inzwischen weiter gekommen?
TottiIII
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 13.06.2007 | | Autor: | steefes |
Hallo Ghislain
Da wir mittlerweile an der schriftlichen Aufgabe verzweifelt sind bitte
ich
nun sie als aufgabensteller um rat.
ist der gedanke richtig, dass ich als untermoduln des [mm] R^4 [/mm] die
Spaltenvektoren der Matrix P nehme wenn folgendes gilt
J = PAP^-1
wobei J Jordanform und A die gegebene Matrix.
eine schnelle Antwort würde uns sehr entgegenkommen
mit dem besten dank und den herzlichsten grüßen
dann schrieb er:
das ist fast richtig, der modul zerlegt sich in zwei untermoduln, nämlich
in
jeweils zwei der spalten. es gibt zwei spalten die zu dem einen eigenwert
"gehören" (also der "hauptraum" zu dem eigenwert). ihr müsst jetzt nur noch
zeigen, das diese spalten jeweils untermoduln sind und ausserdem
unzerlegbar.
ich wieder:
also habe ich zwei untermoduln die jeweils von zwei vektoren aufgespannt
werden? sehe ich das nun so richtig?
er:
genau, die jordan form besteht ja auch aus zwei blöcken, einen mit einsen auf
der diagonalen und einen mit minus einsen auf der diagonalen. und die
zugehörigen spalten in der matrix p spannen die untermoduln auf
vllt hilft das weiter
aber verstanden habe ich weder den sinn diser aufgabe noch warum man das so macht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 15.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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