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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 24.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Sei F:={ f | f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] } der [mm] \IR-vektorraum
[/mm]
Sind die folgenden teilmengen von F Unterräume ?
(a) A :{f [mm] \in [/mm] F | f(x) [mm] \ge [/mm] 0}
(b) B : {f [mm] \in [/mm] F | f(7) = f(1)}
(c) C : {f [mm] \in [/mm] F | f(-x) = -f(x)}
(d) D : { [mm] f\in [/mm] F | f ist bijektiv }
Also (a) hab ich schon gelöst. A ist kein unterraum von F.
ich habe die anderen auch 'gelöst' aber ich würde mich freuen wenn einer mal kurz rüberguckt und mir sagt ob das so OK ist ?
(b)
(i) B [mm] \not= \emptyset [/mm] muss gelten :
f(7) = f(1) [mm] \Rightarrow [/mm] f(1) [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(ii) a,b [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] B muss gelten :
a [mm] \in [/mm] B und [mm] b\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] B (Wie kann ich das besser zeigen?)
(iii) [mm] a\in [/mm] B, x [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] a*c [mm] \in [/mm] B muss gelten :
[mm] a\in [/mm] B , x [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] a*c [mm] \in [/mm] B (hier das selbe)
(c)
(i) C [mm] \not= \emptyset [/mm] muss gelten :
f(-a) = -f(a) [mm] \Rightarrow [/mm] -f(a) [mm] \in [/mm] C [mm] \not= \emptyset [/mm]
(ii) -f(a) [mm] \in [/mm] C und -f(b) [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] -f(a)-f(b) [mm] \in [/mm] C da -f(a)-f(b) = f(-a-b) [mm] \in [/mm] C (ich glaub das geht auch nicht so)
(iii) -f(a) [mm] \in [/mm] C , [mm] x\in \IR [/mm] soll gelten :
-f(a) [mm] \in [/mm] C und [mm] x\in \IR \Rightarrow [/mm] -f(a)*x [mm] \Rightarrow [/mm] -x*f(a) [mm] \in [/mm] C
(d)
(i) D [mm] \not= \emptyset [/mm] muss gelten :
Die bedingung , dass f bijektiv sein soll setzt voraus, dass D [mm] \not= \emptyset [/mm] ist.
(ii) x [mm] \in [/mm] D und y [mm] \in [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] x +y [mm] \in [/mm] D , da x+y eine Verknüpfung auf eine Zahl z ist, die wiederum bijektiv ist.
(iii) [mm] x\in [/mm] D und [mm] c\in \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x*c [mm] \in [/mm] D , da x*c eine Verknüpfung auf eine Zahl y ist, die wiederum bijektiv ist und in D liegt.
Kann mir da jemand helfen ?
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Hallo Ayame,
beginne Mengen mit \{ und schließe sie mit \}
Sonst kommen 1000 Eingabefehler, alles sehr mühsam zu beheben ...
> Sei [mm] $F:=\{ f \mid f: \IR\to\IR\}$ [/mm] der [mm] $\IR$-Vektorraum
[/mm]
> Sind die folgenden teilmengen von F Unterräume ?
>
> (a) $A [mm] :=\{f \in F \mid f(x) \ge 0\}$
[/mm]
> (b) $B := [mm] \{f \in F \mid f(7) = f(1)\}$
[/mm]
> (c) $C [mm] :=\{f \in F \mid f(-x) = -f(x)\}$
[/mm]
> (d) $D [mm] :=\{ f\in F \mid f \ \text{ist bijektiv}\}$
[/mm]
> Also (a) hab ich schon gelöst. A ist kein unterraum von F ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> ich habe die anderen auch 'gelöst' aber ich würde mich
> freuen wenn einer mal kurz rüberguckt und mir sagt ob das
> so OK ist ?
>
> (b)
> (i) B [mm]\not= \emptyset[/mm] muss gelten :
> f(7) = f(1) [mm]\Rightarrow[/mm] f(1) [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]
In B sind doch nicht die Funktionswerte, sondern Funktionen, deine Vektoren sind Funktionen!
Der Nullvektor etwa ist die Nullfunktion [mm] $n:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Für die gilt sicher $0=n(7)=n(1)$, also [mm] $n\in [/mm] B$, damit [mm] $B\neq\emptyset$
[/mm]
>
> (ii) a,b [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in[/mm] B muss gelten :
> a [mm]\in[/mm] B und [mm]b\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in[/mm] B (Wie kann ich das
> besser zeigen?)
Na, nimm dir halt 2 Funktionen (=Vektoren) aus B her, etwa [mm] $a:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] a(x)$ und [mm] $b:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] b(x)$
Dann ist $a(7)=a(1)$ und $b(7)=b(1)$
Was ist dann $(a+b)(7)$?
Wenn das $=(a+b)(1)$ ist, so ist [mm] $c:=a+b:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] c(x)$ auch in B
> (iii) [mm]a\in[/mm] B, x [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] a*c [mm]\in[/mm] B muss gelten
> :
> [mm]a\in[/mm] B , x [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] a*c [mm]\in[/mm] B (hier das selbe)
Benutze wie in (ii) die definierende Eigenschaft von B...
x ist ungünstig gewählt, weil es üblicherweise ein Argument der Funktion (=Vektor) bezeichnet.
Nimm dir ein bel. Skalar [mm] $r\in\IR$ [/mm] her und einen bel. Vektor [mm] $f\in [/mm] B$, also [mm] $f:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] f(x)$ her.
Dann ist zu zeigen, dass die Funktion [mm] $r\cdot{}f:\IR\to\IR, x\mapsto (r\cdot{}f)(x)$ [/mm] ebenfalls in B liegt.
Rechne das aus und benutze, was du über f weißt!
>
> (c)
> (i) C [mm]\not= \emptyset[/mm] muss gelten :
> f(-a) = -f(a) [mm]\Rightarrow[/mm] -f(a) [mm]\in[/mm] C [mm]\not= \emptyset[/mm]
Unsinn, wie oben, C enthält als Elemente (=Vektoren) Funkitionen!!!, keine Funktionswerte, also reelle Zahlen ...
> (ii) -f(a) [mm]\in[/mm] C und -f(b) [mm]\in[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] -f(a)-f(b) [mm]\in[/mm]
> C da -f(a)-f(b) = f(-a-b) [mm]\in[/mm] C (ich glaub das geht auch
> nicht so)
> (iii) -f(a) [mm]\in[/mm] C , [mm]x\in \IR[/mm] soll gelten :
> -f(a) [mm]\in[/mm] C und [mm]x\in \IR \Rightarrow[/mm] -f(a)*x [mm]\Rightarrow[/mm]
> -x*f(a) [mm]\in[/mm] C
Das ist kompletter Käse, rechne das nochmal mit den Bemerkungen und analog zu den anderen Aufgaben nach!!
Poste dann erneut und wir sehen weiter, mir sträuben sich gerade die frisch rasierten Nackenhaare!!
>
> (d)
> (i) D [mm]\not= \emptyset[/mm] muss gelten :
> Die bedingung , dass f bijektiv sein soll setzt voraus,
> dass D [mm]\not= \emptyset[/mm] ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kompletter Unfug!
Was willst du damit sagen?
Die Bedingung [mm] $D\neq\emptyset$ [/mm] ist äquivalent dazu, dass der Nullvektor [mm] $\in [/mm] D$ ist, das ist hier die Nullfunktion [mm] $n:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] (siehe oben)
Ist n bijektiv? Also [mm] $\in [/mm] D$ ?
> (ii) x [mm]\in[/mm] D und y [mm]\in[/mm] D [mm]\Rightarrow[/mm] x +y [mm]\in[/mm] D , da x+y
> eine Verknüpfung auf eine Zahl z ist, die wiederum
> bijektiv ist.
> (iii) [mm]x\in[/mm] D und [mm]c\in \IR[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x*c [mm]\in[/mm] D , da x*c eine Verknüpfung auf eine
> Zahl y ist, die wiederum bijektiv ist und in D liegt.
>
> Kann mir da jemand helfen ?
Es macht den Eindruck, dass du die Mengen, um die es hier geht, in keiner Weise verstanden hast, schaue dir in Ruhe nochmal die Definitionen der obigen Mengen an und mache dir klar, welche Elemente sie enthalten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Tut mir leid das es so schlecht war. ich versuch es jetzt noch mal :
(b) [mm] B:=\{ f\in F | f(7) = f(1) \}
[/mm]
(i) n : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] 0
n(7) = n(1) =0 [mm] n\in [/mm] B , B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(ii) a: [mm] \IR \to \IR [/mm] b : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] a(x) x [mm] \mapsto [/mm] b(x)
a(7)=a(1) und b(7)=b(1)
(a+b) (1)= a(1) + b(1) = a(7) +b(7) = (a+b)(7)
c: a+b : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] c(x) c [mm] \in [/mm] B
(iii) r [mm] \in \IR f\in [/mm] B
r*f : [mm] \IR \to \IR [/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] (r*f)(x)
r*f(1)=f(7)*r [mm] \to [/mm] g(1)=g(7) [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \in [/mm] B
B ist ein Unterraum.
(c) [mm] C:=\{ f\in F | f(-x)=-f(x) \} [/mm]
(i) n: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] 0
n(-x)=-n(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \in [/mm] C, [mm] C\not= \emptyset
[/mm]
(ii) h: [mm] \IR \to \IR [/mm] g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] h(x) x [mm] \mapsto [/mm] g(x)
h(-x)= -h(x) und g(-x)= -g(x)
(h+g) (-x) = h(-x) + g(-x)
-(h+g)(x) = -(h(x) + g(x)) = -h(x) + (-g(x)) = h(-x) + g(-x) = (h+g)(-x)
j: g+h : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] j(x)
-j(x) = j(-x) [mm] \Rightarrow [/mm] j [mm] \in [/mm] C
(iii) r [mm] \in \IR [/mm]
r*f : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] (r*f)(x)
1.Fall [mm] r\ge [/mm] 0 : r*f(-x)=r*(-f(x))
[2. Fall r < 0 : (-r)*f(-x) = (-r)*(-f(x))]
g(-x)= r*f(-x) , -g(x) = r*(-f(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] g(-x)=-g(x) [mm] \in [/mm] C
C ist ein Unterraum.
(d) D:= [mm] \{ f \in F | f ist bijektiv \}
[/mm]
Da ist mir aufgefallen das die Nullabbildung gar nicht bijektiv ist.
Aber muss nicht die Nullabbildung im Unterraum enthalten sein als
neutrales Element ??
Wenn ja dann n [mm] \not\in [/mm] D
D ist kein Unterraum.
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Hallo Ayame,
> Tut mir leid das es so schlecht war.
Ist ja kein Problem und war ja auch nicht böse von mir gemeint, sondern als (etwas strenger  ) Hinweis, alles genauestens zu lesen
> ich versuch es jetzt
> noch mal :
>
> (b) [mm]B:=\{ f\in F | f(7) = f(1) \}[/mm]
>
> (i) n : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] 0
>
> n(7) = n(1) =0 [mm]n\in[/mm] B , B [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> (ii) a: [mm]\IR \to \IR[/mm] b : [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> x [mm]\mapsto[/mm] a(x) x [mm]\mapsto[/mm] b(x)
>
> a(7)=a(1) und b(7)=b(1)
>
> (a+b) (1)= a(1) + b(1) = a(7) +b(7) = (a+b)(7)
>
> c: a+b : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] c(x) c [mm]\in[/mm] B
Ja, schreibe das auf dem Übungszettel noch etwas sauberer auf mit den entsprechenden Folgerungspfeilen, dann ist das ok!
>
> (iii) r [mm]\in \IR f\in[/mm] B
>
> r*f : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] (r*f)(x)
>
> r*f(1)=f(7)*r [mm]\to[/mm] g(1)=g(7) [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\in[/mm] B
Hier musst du auch genauer schreiben:
Es ist [mm] $(r\cdot{}f)(1)=r\cdot{}f(1)\underbrace{=}_{\text{nach Def. B}}r\cdot{}f(7)=(r\cdot{}f)(7)$, [/mm] also [mm] $\underbrace{r\cdot{}f}_{\text{als Funktion!!}}\in [/mm] B$
>
> B ist ein Unterraum.
Jo!
>
> (c) [mm]C:=\{ f\in F | f(-x)=-f(x) \}[/mm]
> (i) n: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] 0
>
> n(-x)=-n(x) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\in[/mm] C, [mm]C\not= \emptyset[/mm]
gut!
>
> (ii) h: [mm]\IR \to \IR[/mm] g: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x
> [mm]\mapsto[/mm] h(x) x [mm]\mapsto[/mm] g(x)
>
> h(-x)= -h(x) und g(-x)= -g(x)
>
> (h+g) (-x) = h(-x) + g(-x)
> -(h+g)(x) = -(h(x) + g(x)) = -h(x) + (-g(x)) = h(-x) +
> g(-x) = (h+g)(-x)
>
> j: g+h : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] j(x)
>
> -j(x) = j(-x) [mm]\Rightarrow[/mm] j [mm]\in[/mm] C
auch sehr schön
>
> (iii) r [mm]\in \IR[/mm]
>
> r*f : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] (r*f)(x)
>
> 1.Fall [mm]r\ge[/mm] 0 : r*f(-x)=r*(-f(x))
> [2. Fall r < 0 : (-r)*f(-x) = (-r)*(-f(x))]
>
> g(-x)= r*f(-x) , -g(x) = r*(-f(x)) [mm]\Rightarrow[/mm] g(-x)=-g(x)
> [mm]\in[/mm] C
Hier brauchst du keine Fallunterscheidung, für $r=0$ stehts unter (i)
Auch hier solltest du genauer klammern:
[mm] $(r\cdot{}f)(-x)=r\cdot{}f(-x)=r\cdot{}(-f(x))=-(r\cdot{}f(x))=-(r\cdot{}f)(x)$, [/mm] also [mm] $r\cdot{}f\in [/mm] C$ (wieder als Funktion gesehen!)
>
> C ist ein Unterraum.
>
> (d) D:= [mm]\{ f \in F | f ist bijektiv \}[/mm]
> Da ist mir
> aufgefallen das die Nullabbildung gar nicht bijektiv ist.
Eben!
> Aber muss nicht die Nullabbildung im Unterraum enthalten
> sein als
> neutrales Element ??
Jo, als Nulvektor! Der muss immer drin sein und ist der Nullvektor aus dem "Oberraum"
Der vererbt sich sozusagen auf jeden Unterraum!
>
> Wenn ja dann n [mm]\not\in[/mm] D
>
> D ist kein Unterraum.
Ganz genau!!
Das hast du sehr gut gemacht, also kannst du's doch!
Sehr schön, weiter so!
Lieben Gruß
schachuzipus
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