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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:15 Mo 13.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in. Ich versuche die Aufgabe zu lösen.
[mm] \IF_{p} [/mm] ein Körper, wieviele 2 dimensionaler [mm] \IF_{p}-Unterräume [/mm] hat [mm] \IF_{p}^{3}
[/mm]
Also [mm] \IF_{p} [/mm] ist ja eine Körper mit p Elementen, das ist ja Klar.
2 dimensionale untervektorraum muss doch so wie eine Ebene sein oder?
Mir ist auch klar das man in [mm] \IF_{p} [/mm] anderes rechnet als normaler Körper.
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Hallo!
Grundsätzlich sind ja 2-dimensionale Unterräume Vektorräume, die zwei linear unabhängige Vektoren enthalten. Insgesamt enthält [mm] $\IF_p^3$ $p^3$ [/mm] Vektoren. Die Kunst ist also, zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei linear unabhängige Vektoren auszuwählen, wobei wir natürlich keine Duplikate wollen. Z.B. ist [mm] $\mathrm{span}\left\{\vektor{1\\0\\0};\vektor{0\\1\\0}\right\}=\mathrm{span}\left\{\vektor{2\\0\\0};\vektor{0\\1\\0}\right\}$.
[/mm]
Was wir also brauchen, sind zusätzliche Bedingungen.
Betrachte diese Teilmengen von [mm] $\IF_p^3$:
[/mm]
[mm] $M_1:=\left\{\vektor{1\\0\\x}:\ x\in\IF_p^3\right\}$, $M_2:=\left\{\vektor{0\\1\\x}:\ x\in\IF_p^3\right\}$, $M_3:=\left\{\vektor{0\\0\\x}:\ x\in\IF_p^3\setminus\{0\}\right\}$. [/mm]
Es gilt: Wenn du zwei linear unabhängige Vektoren [mm] $u,v\in\IF_p^3$ [/mm] hast, dann gibt es ein Pärchen $p,q$ mit [mm] $p\in M_i,\ q\in M_j,\ i\ne [/mm] j,$ so dass [mm] $\mathrm{span}\,\{u,v\}=\mathrm{span}\,\{p,q\}$ [/mm] ist.
Außerdem gilt für [mm] $u\in M_i, v\in M_j, w\in M_k$, $i\ne [/mm] j$: [mm] $w\not\in\mathrm{span}\,\{u;v\}$.
[/mm]
Jetzt musst du eigentlich nur noch die Elemente und die möglichen Paarungen der [mm] $M_i$ [/mm] zählen...
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 13.06.2005 | | Autor: | NECO |
> Hallo!
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> Grundsätzlich sind ja 2-dimensionale Unterräume
> Vektorräume, die zwei linear unabhängige Vektoren
> enthalten. Insgesamt enthält [mm]\IF_p^3[/mm] [mm]p^3[/mm] Vektoren. Die
> Kunst ist also, zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es
> gibt, zwei linear unabhängige Vektoren auszuwählen, wobei
> wir natürlich keine Duplikate wollen. Z.B. ist
> [mm]\mathrm{span}\left\{\vektor{1\\0\\0};\vektor{0\\1\\0}\right\}=\mathrm{span}\left\{\vektor{2\\0\\0};\vektor{0\\1\\0}\right\}[/mm].
>
> Was wir also brauchen, sind zusätzliche Bedingungen.
> Betrachte diese Teilmengen von [mm]\IF_p^3[/mm]:
> [mm]M_1:=\left\{\vektor{1\\0\\x}:\ x\in\IF_p^3\right\}[/mm],
> [mm]M_2:=\left\{\vektor{0\\1\\x}:\ x\in\IF_p^3\right\}[/mm],
> [mm]M_3:=\left\{\vektor{0\\0\\x}:\ x\in\IF_p^3\setminus\{0\}\right\}[/mm].
> Es gilt: Wenn du zwei linear unabhängige Vektoren
> [mm]u,v\in\IF_p^3[/mm] hast, dann gibt es ein Pärchen [mm]p,q[/mm] mit [mm]p\in M_i,\ q\in M_j,\ i\ne j,[/mm]
> so dass [mm]\mathrm{span}\,\{u,v\}=\mathrm{span}\,\{p,q\}[/mm] ist.
> Außerdem gilt für [mm]u\in M_i, v\in M_j, w\in M_k[/mm], [mm]i\ne j[/mm]:
> [mm]w\not\in\mathrm{span}\,\{u;v\}[/mm].
> Jetzt musst du eigentlich nur noch die Elemente und die
> möglichen Paarungen der [mm]M_i[/mm] zählen...
>
> Hilft dir das weiter?
>
> Gruß, banachella
Erstmal vielen Dank. Kann ich dann sagen es gibt maximal 3 paarungen
also wie zb 1,2,3
1,2
1,3
2,3
mehr gibt es ja nicht ne?
Also dann gibt es nur 3 2-Dimensionaler Unterraum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Ganz allgemein kann man sich überlegen, dass es in [mm] $\IF_p^n$ [/mm] genau
[mm] $\prod\limits_{i=0}^{k-1} \frac{p^n-p^i}{p^k-p^i}$
[/mm]
$k$-dimensionale Unterräume gibt, bei dir also
[mm] $\prod\limits_{i=0}^{1} \frac{p^3-p^i}{p^2-p^i} [/mm] = [mm] \frac{(p^3-1)(p^3-p)}{(p^2-1)(p^2-p)}$
[/mm]
Stück.
Dies muss man sich sorgsam überlegen. Bleiben wir einmal bei den letzten konkreten Beispiel: Für den ersten Basisvektor gibt es [mm] $p^3-1$ [/mm] Möglichkeiten, nämlich alle bis auf den Nullvektor. Für den zweiten Vektor bleiben [mm] $p^3-p$ [/mm] Basisvektoren, nämlich alle Vektoren aus [mm] $\IF_p^3$ [/mm] bis auf die Vielfachen des ersten Basisvektors. Jetzt müssen wir uns noch überlegen, wie viele dieser Basen den gleichen Vektorraum aufspannen.
Wir überlegen uns also, welche zwei Vektoren aus [mm] $Span(v_1,v_2)$ [/mm] den gleichen Vektorraum aufspannen. In [mm] $Span(v_1,v_2)$ [/mm] gibt es [mm] $p^2-1$ [/mm] vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die als erster Basisvektor in Frage kommen und [mm] $p^2-p$, [/mm] die als zweiter Basisvektor in Frage kommen (nämlich alles bis auf Vielfache des ersten Basisvektors).
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
Erstmal vielen Dank, Stefan. ch habe unten 2 Fragen, die ich nicht so verstehe.
>
> Ganz allgemein kann man sich überlegen, dass es in [mm]\IF_p^n[/mm]
> genau
>
> [mm]\prod\limits_{i=0}^{k-1} \frac{p^n-p^i}{p^k-p^i}[/mm]
>
> [mm]k[/mm]-dimensionale Unterräume gibt, bei dir also
>
> [mm]\prod\limits_{i=0}^{1} \frac{p^3-p^i}{p^2-p^i} = \frac{(p^3-1)(p^3-p)}{(p^2-1)(p^2-p)}[/mm]
>
> Stück.
>
> Dies muss man sich sorgsam überlegen. Bleiben wir einmal
> bei den letzten konkreten Beispiel: Für den ersten
> Basisvektor gibt es [mm]p^3-1[/mm] Möglichkeiten, nämlich alle bis
> auf den Nullvektor. Für den zweiten Vektor bleiben [mm]p^3-p[/mm]
> Basisvektoren, nämlich alle Vektoren aus [mm]\IF_p^3[/mm] bis auf
> die Vielfachen des ersten Basisvektors. Jetzt müssen wir
> uns noch überlegen, wie viele dieser Basen den gleichen
> Vektorraum aufspannen.
>
> Wir überlegen uns also, welche zwei Vektoren aus
> [mm]Span(v_1,v_2)[/mm] den gleichen Vektorraum aufspannen. In
> [mm]Span(v_1,v_2)[/mm] gibt es [mm]p^2-1[/mm] vom Nullvektor verschiedene
> Vektoren, die als erster Basisvektor in Frage kommen
Wie kommt man rechnerisch hier auf [mm]p^2-1[/mm]
und
> [mm]p^2-p[/mm], die als zweiter Basisvektor in Frage kommen (nämlich
> alles bis auf Vielfache des ersten Basisvektors).
und wie kommt man hier auf [mm]p^2-p[/mm]
>
> Viele Grüße
> Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
> Wie kommt man rechnerisch hier auf [mm]p^2-1[/mm]
Es seien [mm] $v_1,v_2$ [/mm] zwei linear unabhängige Vektoren aus [mm] $\IF_p^3$. [/mm] Dann betrachten wir alle Linearkombinationen
[mm] $\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2$
[/mm]
mit [mm] $\lambda_1,\lambda_2 \in \IF_p$, [/mm] die als erster Basisvektor in Frage kommen. Zunächst einmal gibt es dafür $p [mm] \cdot [/mm] p = [mm] p^2$ [/mm] Kombinationen. Eine davon führt allerdings zu einem Vektor, der nicht als erster Basisvektor in Frage kommt, nämlich dem Nullvektor. Dies ist für [mm] $\lambda_1=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=0$ [/mm] der Fall. Daher kommen für den ersten Basisvektor [mm] $p^2-1$ [/mm] Vektoren in Frage.
> und
> > [mm]p^2-p[/mm], die als zweiter Basisvektor in Frage kommen (nämlich
> > alles bis auf Vielfache des ersten Basisvektors).
> und wie kommt man hier auf [mm]p^2-p[/mm]
Wir brauchen ja noch alle möglichen zweiten Basisvektoren aus [mm] $Span(v_1,v_2)$, [/mm] wenn wir den ersten bereits fest gewählt haben. Dies können alle der obog aufgeführten [mm] $p^2$ [/mm] Linearkombinationen sein, allerdings darf es sich dabei nicht um Vielfache des ersten Basisvektors handeln. Da es $p$ solche Vielfache gibt, kommen für den zweiten Basisvektor [mm] $p^2-p$ [/mm] Vektoren in Frage.
Viele Grüße
Stefan
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