Unterräume, dim(V) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 22.11.2009 | | Autor: | karov |
| Aufgabe | Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und K besitze unendlich viele Elemente.
Zeigen Sie:
(i) Ist n [mm] \ge [/mm] 2, so enthält V unendlich viele verschiedene Unteräume der Dimension n - 1.
(ii) Ist V = [mm] V_1\cup V_2\cup...\cup V_r [/mm] endliche Vereinigung von Unteräumen [mm] V_1,..., V_r, [/mm] so gibt es notwendig ein
j mit [mm] V_j [/mm] = V .
Hinweis zu (ii): Dies beweise man mittels Induktion über dim(V ). Im Induktionsschritt wähle man einen n-1-dimensionalen Unterraum W von V mit W [mm] \not= V_i, [/mm] i = 1,..., r. |
Ich habe bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, bräuchte daher Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K
> und K besitze unendlich viele Elemente.
> Zeigen Sie:
> (i) Ist n [mm]\ge[/mm] 2, so enthält V unendlich viele
> verschiedene Unteräume der Dimension n - 1.
> [..]
> Ich habe bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, bräuchte daher
> Hilfe.
Hallo,
das ist Dein zweites Post ohne eigene Lösungsansätze, welche wir lt. Forenregeln von Dir erwarten.
Was hast Du Dir denn bisher überlegt? An welcher Stelle hast Du Probleme?
Hast Du mal an einem Beispiel ausprobiert, ob die Behauptung stimmt? Z.B. für den [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3?
[/mm]
Letztendlich ist die Frage, ob Du unendlich viele linear unabhängige Teilmengen aus V angeben kannst, welche verschiedene Räume aufspannen.
Mal zu dim V=2 - inder Hoffnung, Dich dadurch zu weiteren Ideen zu inspirieren:
Dann gibt es eine Basis [mm] B=(b_1, b_2)
[/mm]
Wie schaut's aus mit den Unterräumen [mm] U_k:=< b_1+kb_2> [/mm] ?
Wann ist [mm] U_k=U_l?
[/mm]
Gruß v. Angela
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