Unterräume eines Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien U1,U2 [mm] \subset [/mm] V lineare Unterräume eines R-Vektorraums V. Zeige:
a) U1 [mm] \cup [/mm] U2 ist ein linerarer Unterraum [mm] \gdw [/mm] U1 [mm] \subset [/mm] U2 oder u2 [mm] \subset [/mm] u1
b) Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:
b) Für jedes x [mm] \varepsilon [/mm] V gibt es eindeutig bestimmte Vektoren u1 [mm] \varepsilon [/mm] U1 und u2 [mm] \varepsilon [/mm] U2 mit x = u1+u2 |
zu a)
Ich hab den Äquivalenzpfeil aufgeilt und erst die Rückrichtung gezeigt, in dem ich einfach die 3 Eigenschaften für je zwei Vektoren aus U1 behauptet habe und dann den einen Vektor ersetze durch einen Vektor aus U2. (da U2 Teilmenge von U1). Nullvektor ist auch gegeben (da U2 selbstständig ein Unterraum ist) - Reicht das so?
In die andere Richtung wird es schwieriger. Habe ein Beispiel gefunden, wo U1 nicht Teil von U2 ist und die Addition keinen Teil des Unterraums ergibt.
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] + pmat{ 0 & 1 [mm] \\ [/mm] 1 & 0 }
und da dies nicht Element aus U1, U2 ist, wäre die Behauptung falsch. Aber damit ist nicht gezeigt dass daraus folgt, dass für einen linearen Unterraum gelten MUSS; dass des eine Teilmenge vom anderen ist.
Wie könnte man beweisen,dass der Durchschnitt von U1 und U2 ein linearerer Unterraum ist?
zu b)
die Aussage verstehe ich 100%ig und zwar da die Schnittmenge 0 ist, ist jedes x eindeutig bestimmt. Die Sache mit der Addition ergibt sich auch, doch wie beweist man diese Aussage?
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo noname86,
das Symbol für die Durchschnittsbildung ist [mm] $\cap$, [/mm] in der Aufgabenstellung ist aber die *Vereinigung* [mm] ($\cup$) [/mm] gemeint  .
Die 2. Aussage von Teil b) ist hier leider nicht angekommen:-(; dürfte wohl etwa so aussehen: [mm] $V=U_1+U_2$ [/mm] und [mm] $U_1 \cap U_2={0}$. [/mm]
Zur Rückrichtung:
Voraussetzung: [mm] $U_1 \cap U_2 [/mm] ={0}$.
Gegeben ein Vektor $v [mm] \in [/mm] V$, und es gibt [mm] $u_1,v_1 \in U_1$ $u_2,v_2 \in U_2$ [/mm] mit [mm] $u_1+u_2=v=v_1+v_2$. [/mm] Stell diese Gleichung mal so um, daß auf beiden Seiten jeweils die Summe zweier Vektoren aus dem selben Unterraum steht .
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 13.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
