Unterräume und Eigenräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Sei [mm] V=Abb(\mathbb{R},\mathbb{R}). L:V\rightarrow [/mm] V mit L(f)(r)=f(-r), [mm] r\in \mathbb{R}, f\in [/mm] V. Behauptung: V=Eig(L;1)+Eig(L;-1) |
| Aufgabe 2 | Beweise oder widerlege:
[mm] U_1,U_2,U_3 [/mm] Unterräume von V und [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3=0, [/mm] dann gilt [mm] U_1\cap (U_2\oplus U_3)=0. [/mm] |
Hallo,
2 kurze Aufgaben.
Bei der ersten denke ich mal, dass ich irgendwie die Eigenräume berechnen muss, und dann zeigen, dass es eine Basis aus Eigenvektoren für V gibt oder? Wie ich das mache ist mir noch ein Rätsel.
Bei der 2ten Aufgabe: Gilt denn: [mm] U_1\cap(U_2\oplus U_3)=(U_1\oplus U_2)\cap (U_1\oplus U_3)? [/mm] Nicht das mich die Antwort auf diese Frage irgendwie weiterbringen würde, aber es kann ja nicht schaden es zu wissen.
Für direkte Summen gilt doch [mm] U_1\oplus U_2\Rightarrow U_1\cap U_2=0, [/mm] aber bringt mich das weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Mo 06.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]V=Abb(\mathbb{R},\mathbb{R}). L:V\rightarrow[/mm] V mit
> L(f)(r)=f(-r), [mm]r\in \mathbb{R}, f\in[/mm] V. Behauptung:
> V=Eig(L;1)+Eig(L;-1)
> Beweise oder widerlege:
> [mm]U_1,U_2,U_3[/mm] Unterräume von V und [mm](U_1\oplus U_2)\cap U_3=0,[/mm]
> dann gilt [mm]U_1\cap (U_2\oplus U_3)=0.[/mm]
>
> Hallo,
> 2 kurze Aufgaben.
> Bei der ersten denke ich mal, dass ich irgendwie die
> Eigenräume berechnen muss, und dann zeigen, dass es eine
> Basis aus Eigenvektoren für V gibt oder? Wie ich das mache
> ist mir noch ein Rätsel.
Nun, $V$ ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum, da wirst du schlecht eine Basis angeben koennen. (Versuch es erst gar nicht.) Du musst die Aufgabe etwas abstrakter loesen.
Ueberleg dir doch erstmal, welche Funktionen genau in $Eig(L; 1)$ und in $Eig(L; -1)$ liegen. Du musst ja zeigen:
(i) jede Funktion in $V$ laesst sich als Summe $f + g$ schreiben mit $f [mm] \in [/mm] Eig(L; 1)$ und $g [mm] \in [/mm] Eig(L; -1)$;
(ii) gilt $f [mm] \in [/mm] Eig(L; 1)$ und $f [mm] \in [/mm] Eig(L; -1)$, so gilt $f = 0$.
Hier ist (ii) sehr einfach, und bei (i) musst du einen Trick benutzen, um eine Funktion aus $V$ als Summe von zwei Funktionen zu schreiben. Wenn du weisst was fuer Funktionen in $Eig(L; 1)$ und $Eig(L; -1)$ liegen faellt dir das sicher leichter.
> Bei der 2ten Aufgabe: Gilt denn: [mm]U_1\cap(U_2\oplus U_3)=(U_1\oplus U_2)\cap (U_1\oplus U_3)?[/mm]
> Nicht das mich die Antwort auf diese Frage irgendwie
> weiterbringen würde, aber es kann ja nicht schaden es zu
> wissen.
Das gilt nicht; Gegenbeispiel: $V = [mm] \IR^2$, $U_1$ [/mm] ist durch $(1, 1)$ erzeugt, [mm] $U_2$ [/mm] durch $(1, 0)$ und [mm] $U_3$ [/mm] durch $(0, 1)$.
> Für direkte Summen gilt doch [mm]U_1\oplus U_2\Rightarrow U_1\cap U_2=0,[/mm]
Ja, das gilt.
> aber bringt mich das weiter?
Nun, du hast schonmal [mm] $U_2 \cap U_3 [/mm] = 0$ (warum?), woraus folgt dass [mm] $U_2 \oplus U_3$ [/mm] Sinn macht.
Nimm doch mal ein Element $v [mm] \in U_1 \cap (U_2 \oplus U_3)$, [/mm] also $v = [mm] u_1 [/mm] = [mm] u_2 [/mm] + [mm] u_3$ [/mm] mit [mm] $u_i \in U_i$. [/mm] Dann ist ja [mm] $u_3 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] - [mm] u_2 \in U_1 [/mm] + [mm] U_2$, [/mm] und [mm] $u_3 \in U_3$, [/mm] also [mm] $u_3 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] - [mm] u_2 \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3$.
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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> Nun, [mm]V[/mm] ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum, da wirst
> du schlecht eine Basis angeben koennen. (Versuch es erst
> gar nicht.) Du musst die Aufgabe etwas abstrakter loesen.
>
> Ueberleg dir doch erstmal, welche Funktionen genau in
> [mm]Eig(L; 1)[/mm] und in [mm]Eig(L; -1)[/mm] liegen. Du musst ja zeigen:
Da fängt mein Scheitern schon an. Ich hab bisher fast nur mit Matrizen in Bezug auf Eigenräume gearbeitet, deshalb fällt mir das Umdenken gerade etwas schwer.
>
> (i) jede Funktion in [mm]V[/mm] laesst sich als Summe [mm]f + g[/mm]
> schreiben mit [mm]f \in Eig(L; 1)[/mm] und [mm]g \in Eig(L; -1)[/mm];
>
> (ii) gilt [mm]f \in Eig(L; 1)[/mm] und [mm]f \in Eig(L; -1)[/mm], so gilt [mm]f = 0[/mm].
Muss ich das zeigen? Ist ja keine direkte Summe, andererseits sind Eigenvektoren (oder hier eben Abbildungen) zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig.
Sei jetzt f [mm] \in [/mm] Eig(L;1). Dann gilt doch [mm] L(f)(r)=1\cdot [/mm] f(r), also f(-r)=f(r), oder? Und dann noch [mm] f\in [/mm] Eig(L;-1): L(f)(r)=-f(r), also f(-r)=-f(r), dann wäre f(r)=-f(r) und das geht nur, wenn f(r)=0 für alle r. Geht das so?
>
> Hier ist (ii) sehr einfach, und bei (i) musst du einen
> Trick benutzen, um eine Funktion aus [mm]V[/mm] als Summe von zwei
> Funktionen zu schreiben. Wenn du weisst was fuer Funktionen
> in [mm]Eig(L; 1)[/mm] und [mm]Eig(L; -1)[/mm] liegen faellt dir das sicher
> leichter.
Das weiß ich eben leider nicht.
>
> > Bei der 2ten Aufgabe: Gilt denn: [mm]U_1\cap(U_2\oplus U_3)=(U_1\oplus U_2)\cap (U_1\oplus U_3)?[/mm]
> > Nicht das mich die Antwort auf diese Frage irgendwie
> > weiterbringen würde, aber es kann ja nicht schaden es zu
> > wissen.
>
> Das gilt nicht; Gegenbeispiel: [mm]V = \IR^2[/mm], [mm]U_1[/mm] ist durch [mm](1, 1)[/mm]
> erzeugt, [mm]U_2[/mm] durch [mm](1, 0)[/mm] und [mm]U_3[/mm] durch [mm](0, 1)[/mm].
>
> Nun, du hast schonmal [mm]U_2 \cap U_3 = 0[/mm]
Wieso folgt das aus [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3=0? [/mm] Gilt dann [mm] U_1\oplus U_2\cap U_2\oplus U_3=0?
[/mm]
> folgt dass [mm]U_2 \oplus U_3[/mm] Sinn macht.
>
> Nimm doch mal ein Element [mm]v \in U_1 \cap (U_2 \oplus U_3)[/mm],
> also [mm]v = u_1 = u_2 + u_3[/mm] mit [mm]u_i \in U_i[/mm]. Dann ist ja [mm]u_3 = u_1 - u_2 \in U_1 + U_2[/mm],
> und [mm]u_3 \in U_3[/mm], also [mm]u_3 = u_1 - u_2 \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3[/mm].
>
> Kommst du jetzt weiter?
Nein. Ich muss doch aber irgendwo dann auf einen Widerspruch stoßen. Wenn ich aber ein Element aus [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3 [/mm] nehme, dann steht doch von vorneherein schon fest, dass das gleich Null ist. Dann käme ich ja garnicht weiter?
Ich bin verwirrt.
>
> LG Felix
>
Gruß Sleeper
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> > Ueberleg dir doch erstmal, welche Funktionen genau in
> > [mm]Eig(L; 1)[/mm] und in [mm]Eig(L; -1)[/mm] liegen. Du musst ja zeigen:
>
> Da fängt mein Scheitern schon an. Ich hab bisher fast nur
> mit Matrizen in Bezug auf Eigenräume gearbeitet, deshalb
> fällt mir das Umdenken gerade etwas schwer.
Hallo,
ach was, unten machst Du das doch schon fast richtig.
>
> >
> > (i) jede Funktion in [mm]V[/mm] laesst sich als Summe [mm]f + g[/mm]
> > schreiben mit [mm]f \in Eig(L; 1)[/mm] und [mm]g \in Eig(L; -1)[/mm];
> >
> > (ii) gilt [mm]f \in Eig(L; 1)[/mm] und [mm]f \in Eig(L; -1)[/mm], so gilt [mm]f = 0[/mm].
>
> Muss ich das zeigen?
(i) auf jeden Fall. Das ist doch die Aussage.
> Ist ja keine direkte Summe,
> andererseits sind Eigenvektoren (oder hier eben
> Abbildungen) zu verschiedenen Eigenwerten linear
> unabhängig
> Sei jetzt f [mm]\in[/mm] Eig(L;1). Dann gilt doch [mm]L(f)(r)=1\cdot[/mm]
> f(r), also f(-r)=f(r), oder?
Genau. Was sind denn das für Funktionen? Woran erkennt man die?
> Und dann noch [mm]f\in[/mm] Eig(L;-1):
> L(f)(r)=-f(r), also f(-r)=-f(r),
Was sind das für Funktionen? Wie sehen die Graphen aus?
> dann wäre f(r)=-f(r) und
> das geht nur, wenn f(r)=0 für alle r. Geht das so?
Genau, beide Eigenschaften gleichzeitig hat nur die Nullfunktion.
> >
> > Hier ist (ii) sehr einfach, und bei (i) musst du einen
> > Trick benutzen, um eine Funktion aus [mm]V[/mm] als Summe von zwei
> > Funktionen zu schreiben. Wenn du weisst was fuer Funktionen
> > in [mm]Eig(L; 1)[/mm] und [mm]Eig(L; -1)[/mm] liegen faellt dir das sicher
> > leichter.
>
> Das weiß ich eben leider nicht.
Zeichne Dir solche Funktionen mal auf - und erinnere Dich an Dinge, die Du aus der Schule weißt. Stichwort: Symmetrie.
Gruß v. Angela
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Okay, ich versuche einfach mal das in Worten auszudrücken, was mir mathematisch noch nicht gelingt.
Die Abbildungen f wären quasi symmetrisch zur y-Achse. Dann könnte ich jeweils den Teil für negative r als Element in Eig(L,-1) interpretieren und den positiven Teil als Eig(L;1) Element und so dann jedes h aus V als f+g darstellen, [mm] f\in Eig(L;1),g\in [/mm] Eig(L;-1).
Ich hoffe man kann das so sagen.
Wie schreibt man das mathematisch auf, auch das mit der Symmetrie?
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> Okay, ich versuche einfach mal das in Worten auszudrücken,
> was mir mathematisch noch nicht gelingt.
Hallo,
sag doch jetzt erstmal, welche Eigenschaften die Abbildungen im Eigenraum zu 1 und die in dem zu -1 haben.
> Die Abbildungen f wären quasi symmetrisch zur y-Achse.
Von welchen Abbildungen redest Du jetzt, und wie ist "quasi-symmetrisch" definiert?
> Dann könnte ich jeweils den Teil für negative r als
> Element in Eig(L,-1) interpretieren und den positiven Teil
> als Eig(L;1)
Zeichne Dir irgendeine unsymmetrische Funktion h auf.
[mm] h(x)=\begin{cases} h_1(x), & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \\ h_2(x), & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Jetzt mache Dir neue Funktionen.
1. [mm] f_1 [/mm] symmetrisch zur y-Achse mit
[mm] f_1(x)=h_1(x) [/mm] für x<0
2. [mm] g_1 [/mm] punktsymmetrisch zum Ursprung mit
[mm] g_1(x)=h_1(x) [/mm] für x<0
3. und 4. analog für den rechten Teil von h.
Dann überlege Dir, wie Du mit diesen 4 Funktionen f bekommst.
Gruß v. Angela
Element und so dann jedes h aus V als f+g
> darstellen, [mm]f\in Eig(L;1),g\in[/mm] Eig(L;-1).
> Ich hoffe man kann das so sagen.
> Wie schreibt man das mathematisch auf, auch das mit der
> Symmetrie?
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Ich habs mir mal aufgezeichnet. Es müsste doch auch Eig(L;1) die y-Achsensymmetrischen Funktionen erhalten und Eig(L;-1) die Punkt-symmetrischen.
V ist der Raum der Abbildungen [mm] f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}. [/mm]
Wie ich das jetzt aus den Eigenräumen kombiniere ist mir allerdings immer noch nicht klar geworden, leider.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:36 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habs mir mal aufgezeichnet. Es müsste doch auch
> Eig(L;1) die y-Achsensymmetrischen Funktionen erhalten und
> Eig(L;-1) die Punkt-symmetrischen.
Genau. Wobei sie punkt-symmetrisch um den Punkt $(0, 0)$ sind.
> V ist der Raum der Abbildungen [mm]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.[/mm]
> Wie ich das jetzt aus den Eigenräumen kombiniere ist mir
> allerdings immer noch nicht klar geworden, leider.
Hast du eine Idee, wie du aus einer beliebigen Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine $y$-Achsen-symmetrische Funktion machen kannst? Oder eine punktsymmetrische Funktion?
Wenn du z.B. $g(x) = 0$ setzt, dann ist $g$ $y$-Achsen-symmetrisch. Aber diese Umwandlung $f [mm] \mapsto [/mm] g$ ist etwas arg langweilig 
Wenn $f$ bereits $y$-Achsen-symmetrisch ist, dann gilt ja $f(x) = f(-x)$ und somit $f(x) = [mm] \frac{f(x) + f(-x)}{2}$. [/mm] Wie ist es, wenn $f$ vorher nicht $y$-Achsen-symmetrisch war? Was ist dann $g(x) := [mm] \frac{f(x) + f(-x)}{2}$?
[/mm]
LG Felix
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> Wenn [mm]f[/mm] bereits [mm]y[/mm]-Achsen-symmetrisch ist, dann gilt ja [mm]f(x) = f(-x)[/mm]
> und somit [mm]f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}[/mm]. Wie ist es, wenn [mm]f[/mm]
> vorher nicht [mm]y[/mm]-Achsen-symmetrisch war? Was ist dann [mm]g(x) := \frac{f(x) + f(-x)}{2}[/mm]?
>
> LG Felix
>
g(x) soll jetzt f symmetrisch machen? Muss ich das dann nicht =f(-x) setzen?
Andererseits denke ich, dass es dann irgendwie punktsymmetrisch sein sollte, damit das Ganze zu der Aufgabe passt.
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> > Wenn [mm]f[/mm] bereits [mm]y[/mm]-Achsen-symmetrisch ist, dann gilt ja [mm]f(x) = f(-x)[/mm]
> > und somit [mm]f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}[/mm]. Wie ist es, wenn [mm]f[/mm]
> > vorher nicht [mm]y[/mm]-Achsen-symmetrisch war? Was ist dann [mm]g(x) := \frac{f(x) + f(-x)}{2}[/mm]?
>
> >
> > LG Felix
> >
>
> g(x) soll jetzt f symmetrisch machen?
Hallo,
Quatsch.
g macht mit f überhaupt nix. g ist was. Was ist g? Symmetrisch zur y-Achse.
Jetzt guck [mm] g_2(x):=\bruch{f(x)-f(-x)}{2} [/mm] an: sie ist punktsymmetrisch.
Und nun addiere die beiden.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe |
Beweise oder widerlege:
$ [mm] U_1,U_2,U_3 [/mm] $ Unterräume von V und $ [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3=0, [/mm] $ dann gilt $ [mm] U_1\cap (U_2\oplus U_3)=0. [/mm] $ |
> > > Bei der 2ten Aufgabe: Gilt denn: [mm]U_1\cap(U_2\oplus U_3)=(U_1\oplus U_2)\cap (U_1\oplus U_3)?[/mm]
> > Das gilt nicht; Gegenbeispiel: [mm]V = \IR^2[/mm], [mm]U_1[/mm] ist durch [mm](1, 1)[/mm]
> > erzeugt, [mm]U_2[/mm] durch [mm](1, 0)[/mm] und [mm]U_3[/mm] durch [mm](0, 1)[/mm].
Hallo,
damit können wir Deine Vermutung also komplett abhaken und uns dem Beweis der Behauptung zuwenden.
Sei also [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3=0.
[/mm]
> > Nun, du hast schonmal [mm]U_2 \cap U_3 = 0[/mm]
> Wieso folgt das aus [mm][mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3=0?
[/mm]
Nimm an, daß [mm] u\in U_2\cap U_3.
[/mm]
Dieses u ist dann auch in [mm] U_1\oplus U_2. [/mm]
Das einzige gemeinsame Element von [mm] U_1\oplus U_2 [/mm] und [mm] U_3 [/mm] ist aber 0.
> > folgt dass [mm]U_2 \oplus U_3[/mm] Sinn macht.
Damit ist ein wichtiger teil der Aussage gezeigt.
> > Nimm doch mal ein Element [mm]v \in U_1 \cap (U_2 \oplus U_3)[/mm],
> > also [mm]v = u_1 = u_2 + u_3[/mm] mit [mm]u_i \in U_i[/mm]. Dann ist ja [mm]u_3 = u_1 - u_2 \in U_1 + U_2[/mm],
> > und [mm]u_3 \in U_3[/mm], also [mm]u_3 = u_1 - u_2 \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3[/mm].
>
> >
> > Kommst du jetzt weiter?
>
> Nein.
Dann sag wenigstens noch, was Du aus [mm] u_3 \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3 [/mm] erfährst.
> Ich muss doch aber irgendwo dann auf einen
> Widerspruch stoßen.
Nein, sondern darauf, daß v=0 ist.
> Wenn ich aber ein Element aus
> [mm](U_1\oplus U_2)\cap U_3[/mm] nehme,
Du nimmst aber ein Element a $ v [mm] \in U_1 \cap (U_2 \oplus U_3) [/mm] $, schaust, wie es gemacht ist,
erkennst aus [mm] u_3 \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3, [/mm] daß [mm] u_3=0,
[/mm]
folgerst, daraus, daß v gleichzeitig in [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] liegt.
Und nun?
Gruß v. Angela
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Also nur damit ich noch durchsteige: Ich beweise, dass die Aussage nicht gilt.
Ich mache es so:
Sei [mm] v\in (U_1\oplus U_2)\cap U_3. [/mm] Dann [mm] v=u_1=u_2+u_3 u_i \in U_i.
[/mm]
es folgt: [mm] u_3=u_1-u_2, u_3\in U_3, u_1-u_2\in U_1\oplus U_2.
[/mm]
Also [mm] u_3=0, [/mm] weil der Schnitt ja gleich Null ist. Dann gilt aber [mm] u_1=u_2, [/mm] also [mm] v\in U_1 [/mm] und [mm] v\in U_2, [/mm] dann ist v=0.
Naja aber ich meine es ist doch von anfang an klar, dass mein v=0 ist, weil es ja in [mm] U_1\cap(U_2\oplus U_3)=0 [/mm] liegt. Wenn v=0 ist, wäre auch klar, dass es gleichzeitig in [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] liegt.
Aber wie zeige ich dann, dass eben die Aussage jetzt falsch ist?
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> Also nur damit ich noch durchsteige: Ich beweise, dass die
> Aussage nicht gilt.
Hallo,
ja?
Ich hatte mich eher drangemacht zu beweisen, daß sie gilt...
> Ich mache es so:
> Sei [mm]v\in (U_1\oplus U_2)\cap U_3.[/mm] Dann [mm]v=u_1=u_2+u_3 u_i \in U_i.[/mm]
>
> es folgt: [mm]u_3=u_1-u_2, u_3\in U_3, u_1-u_2\in U_1\oplus U_2.[/mm]
>
> Also [mm]u_3=0,[/mm] weil der Schnitt ja gleich Null ist. Dann gilt
> aber [mm]u_1=u_2,[/mm] also [mm]v\in U_1[/mm] und [mm]v\in U_2,[/mm] dann ist v=0.
> Naja aber ich meine es ist doch von anfang an klar, dass
> mein v=0 ist, weil es ja in [mm]U_1\cap(U_2\oplus U_3)=0[/mm] liegt.
Lies Dir nochmal durch, was ich zuvor geschrieben habe.
Zunächst wurde gezeigt, daß die Summe von [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_3 [/mm] direkt ist.
Danach habe ich ein Element aus [mm] U_1\cap (U_2\oplus U_3) [/mm] genommen in dem Ansinnen, zu zeigen, daß es =0 ist.
Gruß v. Angela
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Die Aussage stimmt. Ich hab mittlerweile auch den Beweis hinbekommen.
Allerdings eins noch, wieso folgt aus [mm] u\in U_2\cap U_3, [/mm] dass [mm] u\in U_1\oplus U_2 [/mm] ist? Wie sieht man das aus [mm] (U_1\oplus U_2)\cap U_3?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Aussage stimmt. Ich hab mittlerweile auch den Beweis
> hinbekommen.
Gut.
> Allerdings eins noch, wieso folgt aus [mm]u\in U_2\cap U_3,[/mm]
> dass [mm]u\in U_1\oplus U_2[/mm] ist?
Es gilt $u [mm] \in U_2 \cap U_3 \Rightarrow [/mm] u [mm] \in U_2 \Rightarrow [/mm] 0 + u [mm] \in U_1 [/mm] + [mm] U_2 \Rightarrow [/mm] u = 0 + u [mm] \in U_1 \oplus U_2$.
[/mm]
> Wie sieht man das aus [mm](U_1\oplus U_2)\cap U_3?[/mm]
Na aus $u [mm] \in U_2 \cap U_3$ [/mm] folgt auch $u [mm] \in U_3$, [/mm] also hast du $u [mm] \in U_1 \oplus U_2$ [/mm] nach obigen und $u [mm] \in U_3$, [/mm] womit du $u [mm] \in (U_1 \oplus U_2) \cap U_3$ [/mm] hast.
LG Felix
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| Aufgabe | [mm] U_1,U_2,W [/mm] seien Unterräume des Vektorraums V. Sei [mm] V=U_1\oplus U_2.
[/mm]
Behauptung: Ist [mm] U_1\subseteq [/mm] W, so ist [mm] W=U_1\oplus(U_2 \cap [/mm] W). |
Hallo,
so hier noch eine Aufgabe mit Unterräumen und direkten Summen, die in etwas zu meiner anderen Aufgabe diesen Types passt, weshalb ich sie hier hineingestellt habe.
Ich weiß, dass gilt [mm] U_1\cap U_2=0, [/mm] und [mm] v=u_1+u_2, v\in V,u_i\in U_i,i=1,2.
[/mm]
Weiterhin ist W ein Unterraum von V, d.h. jedes [mm] w\in [/mm] W ist auch in V. Ist jetzt [mm] U_1\subseteq [/mm] W, dann ist jedes [mm] u_1\in U_1 [/mm] auch in W.
Mit diesen Infomationen muss ich nun insgesamt zeigen, dass gilt:
[mm] U_1\cap(U_2\capW)=0 [/mm] und [mm] w=u_1+u', [/mm] wobei [mm] u'\in U_2\cap [/mm] W sein soll.
Ich bin mir allerdings nicht ganz im Klaren darüber, wie ich das genau zeigen soll?
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Sa 11.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]U_1,U_2,W[/mm] seien Unterräume des Vektorraums V. Sei
> [mm]V=U_1\oplus U_2.[/mm]
> Behauptung: Ist [mm]U_1\subseteq[/mm] W, so ist
> [mm]W=U_1\oplus(U_2 \cap[/mm] W).
> Hallo,
>
> so hier noch eine Aufgabe mit Unterräumen und direkten
> Summen, die in etwas zu meiner anderen Aufgabe diesen Types
> passt, weshalb ich sie hier hineingestellt habe.
>
> Ich weiß, dass gilt [mm]U_1\cap U_2=0,[/mm] und [mm]v=u_1+u_2, v\in V,u_i\in U_i,i=1,2.[/mm]
Was ist $v$?
> Weiterhin ist W ein Unterraum von V, d.h. jedes [mm]w\in[/mm] W ist
> auch in V. Ist jetzt [mm]U_1\subseteq[/mm] W, dann ist jedes [mm]u_1\in U_1[/mm]
> auch in W.
Ja.
> Mit diesen Infomationen muss ich nun insgesamt zeigen,
> dass gilt:
> [mm]U_1\cap(U_2\capW)=0[/mm] und [mm]w=u_1+u',[/mm] wobei [mm]u'\in U_2\cap[/mm] W
> sein soll.
Sorry, so darfst du das einfach nicht aufschreiben.
Du willst sagen: du musst zu jedem $w [mm] \in [/mm] W$ zeigen, dass man es als $w = [mm] u_1 [/mm] + u'$ schreiben kann mit [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm] und $u' [mm] \in U_2 \cap [/mm] W$.
Und es fehlt noch was (auch wenn das recht klar ist): du musst zeigen, dass [mm] $U_1 [/mm] + [mm] (U_2 \cap [/mm] W) [mm] \subseteq [/mm] W$ gilt.
> Ich bin mir allerdings nicht ganz im Klaren darüber, wie
> ich das genau zeigen soll?
Also. [mm] $U_1 \cap (U_2 \cap [/mm] W) = 0$ zu zeigen ist einfach. Das solltest du wirklich allein hinbekommen.
Dann nimm ein $w [mm] \in [/mm] W$. Da $w [mm] \in [/mm] V = [mm] U_1 \oplus U_2$ [/mm] ist gibt es ein [mm] $u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$ [/mm] mit $v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2$. [/mm] Du musst jetzt zeigen, dass [mm] $u_2 \in U_2 \cap [/mm] W$ liegt, also dass auch [mm] $u_2$ [/mm] in $W$ liegt. Bedenke, dass [mm] $u_2 [/mm] = v - [mm] u_1$ [/mm] ist.
LG Felix
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> Also. [mm]U_1 \cap (U_2 \cap W) = 0[/mm] zu zeigen ist einfach. Das
> solltest du wirklich allein hinbekommen.
Relativ klar, da [mm] U_1\cap U_2=0, [/mm] also für [mm] u\in U_1\cap(U_2\capW) [/mm] gilt:
[mm] u\in U_1 [/mm] und [mm] u\in U_2\cap [/mm] W, d.h. [mm] u\in U_1 [/mm] und [mm] u\in U_2 [/mm] und [mm] u\in [/mm] W. Jetzt folgt aus [mm] u\in U_1 [/mm] und [mm] u\in U_2: [/mm] u=0. Oder:
[mm] U_1\cap(U_2 \cap W)=(U_1 \cap U_2)\cap W=0\cap [/mm] W=0.
>
> Dann nimm ein [mm]w \in W[/mm]. Da [mm]w \in V = U_1 \oplus U_2[/mm] ist gibt
> es ein [mm]u_1 \in U_1, u_2 \in U_2[/mm] mit [mm]v = u_1 + u_2[/mm]. Du musst
> jetzt zeigen, dass [mm]u_2 \in U_2 \cap W[/mm] liegt, also dass auch
> [mm]u_2[/mm] in [mm]W[/mm] liegt. Bedenke, dass [mm]u_2 = v - u_1[/mm] ist.
Kann ich das nicht vielleicht auch so machen: Jedes [mm] w\in [/mm] W ist auch in V, also gibt es [mm] u_1 \in U_1 [/mm] und [mm] u_2 \in U_2, [/mm] so dass [mm] w=u_1+u_2. [/mm] Dann gilt: [mm] u_2=w-u_1. [/mm] Da aber [mm] U_1\subseteq [/mm] W sieht man sofort: [mm] u_2\in [/mm] W.
Eigentlich wäre [mm] u_2 [/mm] damit ja vor allem in W-{ [mm] U_1 [/mm] }, was aber egal ist, denn falls [mm] u_2 [/mm] in W (also jetzt mit [mm] U_1), [/mm] folgt sofort [mm] u_2=0.
[/mm]
>
> LG Felix
>
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Also. [mm]U_1 \cap (U_2 \cap W) = 0[/mm] zu zeigen ist einfach. Das
> > solltest du wirklich allein hinbekommen.
>
> Relativ klar, da [mm]U_1\cap U_2=0,[/mm] also für [mm]u\in U_1\cap(U_2\capW)[/mm]
> gilt:
> [mm]u\in U_1[/mm] und [mm]u\in U_2\cap[/mm] W, d.h. [mm]u\in U_1[/mm] und [mm]u\in U_2[/mm]
> und [mm]u\in[/mm] W. Jetzt folgt aus [mm]u\in U_1[/mm] und [mm]u\in U_2:[/mm] u=0.
> Oder:
> [mm]U_1\cap(U_2 \cap W)=(U_1 \cap U_2)\cap W=0\cap[/mm] W=0.
Ja.
> > Dann nimm ein [mm]w \in W[/mm]. Da [mm]w \in V = U_1 \oplus U_2[/mm] ist gibt
> > es ein [mm]u_1 \in U_1, u_2 \in U_2[/mm] mit [mm]v = u_1 + u_2[/mm]. Du musst
> > jetzt zeigen, dass [mm]u_2 \in U_2 \cap W[/mm] liegt, also dass auch
> > [mm]u_2[/mm] in [mm]W[/mm] liegt. Bedenke, dass [mm]u_2 = v - u_1[/mm] ist.
>
> Kann ich das nicht vielleicht auch so machen: Jedes [mm]w\in[/mm] W
> ist auch in V, also gibt es [mm]u_1 \in U_1[/mm] und [mm]u_2 \in U_2,[/mm] so
> dass [mm]w=u_1+u_2.[/mm] Dann gilt: [mm]u_2=w-u_1.[/mm] Da aber [mm]U_1\subseteq[/mm]
> W sieht man sofort: [mm]u_2\in[/mm] W.
Das ist genau der gleiche Loesungsweg
> Eigentlich wäre [mm]u_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
damit ja vor allem in W-{ [mm]U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, was
> aber egal ist, denn falls [mm]u_2[/mm] in W (also jetzt mit [mm]U_1),[/mm]
> folgt sofort [mm]u_2=0.[/mm]
Was genau willst du damit sagen?
LG Felix
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> > > Dann nimm ein [mm]w \in W[/mm]. Da [mm]w \in V = U_1 \oplus U_2[/mm] ist gibt
> > > es ein [mm]u_1 \in U_1, u_2 \in U_2[/mm] mit [mm]v = u_1 + u_2[/mm]. Du musst
> > > jetzt zeigen, dass [mm]u_2 \in U_2 \cap W[/mm] liegt, also dass auch
> > > [mm]u_2[/mm] in [mm]W[/mm] liegt. Bedenke, dass [mm]u_2 = v - u_1[/mm] ist.
> >
> > Kann ich das nicht vielleicht auch so machen: Jedes [mm]w\in[/mm] W
> > ist auch in V, also gibt es [mm]u_1 \in U_1[/mm] und [mm]u_2 \in U_2,[/mm] so
> > dass [mm]w=u_1+u_2.[/mm] Dann gilt: [mm]u_2=w-u_1.[/mm] Da aber [mm]U_1\subseteq[/mm]
> > W sieht man sofort: [mm]u_2\in[/mm] W.
>
> Das ist genau der gleiche Loesungsweg
Ja ist es, nur dass bei dir noch ein v drin war, was ich eigtl. nicht brauche.
Es reicht doch einfach, wenn ich zeige: [mm] u_2=w-u_1 [/mm] und da [mm] U_1 [/mm] sowieso ein Unterraum von W ist, folgt sofort [mm] u_2 [/mm] ist auch in W, also Behauptung.
Ich denke es passt so?
Den Rest, den ich geschrieben habe kann man getrost wieder vergessen.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > > Dann nimm ein [mm]w \in W[/mm]. Da [mm]w \in V = U_1 \oplus U_2[/mm] ist gibt
> > > > es ein [mm]u_1 \in U_1, u_2 \in U_2[/mm] mit [mm]v = u_1 + u_2[/mm]. Du musst
> > > > jetzt zeigen, dass [mm]u_2 \in U_2 \cap W[/mm] liegt, also dass auch
> > > > [mm]u_2[/mm] in [mm]W[/mm] liegt. Bedenke, dass [mm]u_2 = v - u_1[/mm] ist.
> > >
> > > Kann ich das nicht vielleicht auch so machen: Jedes [mm]w\in[/mm] W
> > > ist auch in V, also gibt es [mm]u_1 \in U_1[/mm] und [mm]u_2 \in U_2,[/mm] so
> > > dass [mm]w=u_1+u_2.[/mm] Dann gilt: [mm]u_2=w-u_1.[/mm] Da aber [mm]U_1\subseteq[/mm]
> > > W sieht man sofort: [mm]u_2\in[/mm] W.
> >
> > Das ist genau der gleiche Loesungsweg
>
> Ja ist es, nur dass bei dir noch ein v drin war, was ich
> eigtl. nicht brauche.
Es ist $v = w$.
> Es reicht doch einfach, wenn ich zeige: [mm]u_2=w-u_1[/mm] und da
> [mm]U_1[/mm] sowieso ein Unterraum von W ist, folgt sofort [mm]u_2[/mm] ist
> auch in W, also Behauptung.
>
> Ich denke es passt so?
Ja.
LG Felix
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