Unterräume von F2^3. Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 12.04.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, also die Aufgabenstellung lautet:
a) Bestimmen Sie alle Unterräume von V= [mm] \IF_{2}^{3} [/mm] jeweils durch Angabe einer Basis.
Hier habe ich als eindimensionale Basen:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{1 \\ 1 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 1};\vektor{0 \\ 1 \\ 1}; \vektor{1 \\ 1 \\ 1};
[/mm]
zweidim: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }; \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }; \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }; \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }; \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }; \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }; \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 };
[/mm]
dreidim.: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 };\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 };
[/mm]
insgesamt sind es 21 Basen, jedoch steht in der Aufgabenstellung durch Angabe einer Basis. Ist es jetzt falsch?
b) Bestimmen Sie zu jedem Unterraum U aus a) jeweils den Faktorraum V/U durch Angabe einer Basis.
Hier weiß ich nicht weiter. Also ich weiß wie man die eine Basis von V/U eigentlich bildet, aber hier kriege ich das nicht hin. Wie viel dimensional ist den V oder U? Muss ich das mit allen 21 Basen machen??
Sry, bei den zweidim sind die Zeilen eigentlich die Spalten.
Gruß
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Hallo, ich will mal ein Beispiel geben
zb wäre ein Unterraum U={(0,0,0)(1,1,1)} , Basis [mm] B_U [/mm] ={(1,1,1)}
Um eine Basis von V/U zu bekommen, gehst du wie folgt vor:
du ergänzt [mm] B_U [/mm] zu einer Basis von V zB B'={(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)} und eine Basis von V/U ist dann die Differenz, also B'' ={(1,0,0),(0,1,0)}
Zu dem was du bisher gemacht hast, ich muss zugeben, dass ich damit nichts anfangen kann, wie zu das aufgeschrieben hast (da muss noch jemand anderes weiterhelfen). Aber "eindimensionale Basen" sagt man so nicht, wenn dann einelementige Basen (also eindimensionale Unterräume) und der Nullvektor ist immer linear abhängig.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 12.04.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke erstmal. Ja mit dem Nullvektor hast du recht und wäre auch besser wenn ich einelementig, zweielementig und so geschrieben habe. Aber muss ich dass jetzt wirklich mit allen 20 Basen machen??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber muss ich dass jetzt wirklich
> mit allen 20 Basen machen??
Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass du tatsächlich für alle 16 Unterräume U eine Basis von V/U angeben sollst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Um eine Basis von V/U zu bekommen, gehst du wie folgt
> vor:
> du ergänzt [mm]B_U[/mm] zu einer Basis von V zB
> B'={(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)} und eine Basis von V/U ist
> dann die Differenz, also B'' ={(1,0,0),(0,1,0)}
Genauer: [mm] $B''=\{(1,0,0)+U,\;(0,1,0)+U\}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stift,
vergiss den nulldimensionalen Unterraum nicht.
> Hier habe ich als eindimensionale Basen:
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 0}; \vektor{0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{1 \\ 1 \\ 0}; \vektor{1 \\ 0 \\ 1};\vektor{0 \\ 1 \\ 1}; \vektor{1 \\ 1 \\ 1};[/mm]
Bis auf den Nullvektor korrekt.
> zweidim: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }; \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }; \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }; \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }; \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }; \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }; \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 };[/mm]
Bis auf die Schreibweise korrekt.
> dreidim.: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 };\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 };\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 };[/mm]
Du beschreibst durch sieben Basen immer den gleichen Unterraum, nämlich ganz [mm] $\IF_2^3$!
[/mm]
> insgesamt sind es 21 Basen,
Jetzt noch 16.
> jedoch steht in der
> Aufgabenstellung durch Angabe einer Basis. Ist es jetzt
> falsch?
Nein, da steht JEWEILS durch Angabe einer Basis.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 12.04.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke.
Also eins versteh ich noch nicht, warum 16??
7 einelementige
7 zweielementige
1 dreielementige Basis?
Du meintest ja, dass alle dreielementigen den gleichen Unterraum beschreiben, also ist da doch nur noch eine Basis oder??
Oder welchen habe ich vergessen??
Was ist der nulldimensionale Unterraum??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also eins versteh ich noch nicht, warum 16??
> 7 einelementige
> 7 zweielementige
> 1 dreielementige Basis?
> Du meintest ja, dass alle dreielementigen den gleichen
> Unterraum beschreiben, also ist da doch nur noch eine Basis
> oder??
> Oder welchen habe ich vergessen??
> Was ist der nulldimensionale Unterraum??
Genau den hast du vergessen. Der nulldimensionale Untervektorraum ist der Untervektorraum [mm] $\{(0,0,0)\}$, [/mm] der nur aus dem Nullvektor besteht. Er hat als (einzige) Basis das leere Tupel $()$ (daher ist er nulldimensional).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 12.04.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo,
danke nochmal. Ich werde morgen dann mal versuchen V/U zu bilden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Stift |
Hallo,
zwei Fragen habe ich da noch.
Erstmal wenn ich jetzt als dreielementige Basis {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} nehme und dass soll ich zu einer Basis von V ergänzen, aber diese Basis hat ja schon drei elemente. Ist dann V/U der nulldimensionale Unterraum also {(0,0,0)}?
Und beim nulldimensionalen Unterraum, diesen kann man doch nicht zu einer Basis erweitern, weil dieser doch immer linear abhängig ist oder??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Fr 13.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Erstmal wenn ich jetzt als dreielementige Basis
> {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} nehme und dass soll ich zu einer
> Basis von V ergänzen, aber diese Basis hat ja schon drei
> elemente. Ist dann V/U der nulldimensionale Unterraum also
> {(0,0,0)}?
In der Tat ist V/U in diesem Fall der nulldimensionale Vektorraum. Sein einziger Vektor lautet $(0,0,0)+U=U=V$. Also [mm] $V/U=\{V\}$. [/mm] $V/U$ ist KEIN Untervektorraum von V! Als (einzige) Basis hat $V/U$ das leere System $()$.
> Und beim nulldimensionalen Unterraum, diesen kann man doch
> nicht zu einer Basis erweitern, weil dieser doch immer
> linear abhängig ist oder??
Linear abhängig können Systeme von Vektoren sein, nicht Unterräume! Selbstverständlich kannst du das leere System zu einer Basis von $V$ ergänzen: JEDE Basis von $V$ ist eine Ergänzung vom leeren System zu einer Basis von $V$.
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