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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 15.05.2007 | | Autor: | aineias |
| Aufgabe | Es sei U:= [mm] {(x_1,x_2,...,x_n) \in \IR : \summe_{i=1}^{n} x_i = 0} \subseteq \IR
[/mm]
a.) Zeigen Sie, dass U ein linearer Unterraum des [mm] \IR [/mm] ^n ist.
b.) Bestimmen Sie eine Basis für U. Welche Dimension hat damit U?? |
hi,
irgendwie komme ich hier mit der aufgabe nicht zurecht, obwohl sie einfach scheint.
bei der a.) könnte ich ja die unterraumaxiome durchgehen und die eigenschaft [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] = 0 beachten...
aber wie soll man denn die b.) angehen???
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> Es sei U:= [mm]\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \IR : \summe_{i=1}^{n} x_i = 0\} \subseteq \IR[/mm]
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> a.) Zeigen Sie, dass U ein linearer Unterraum des [mm]\IR[/mm] ^n
> ist.
> b.) Bestimmen Sie eine Basis für U. Welche Dimension hat
> damit U??
> irgendwie komme ich hier mit der aufgabe nicht zurecht,
> obwohl sie einfach scheint.
> bei der a.) könnte ich ja die unterraumaxiome durchgehen
> und die eigenschaft [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i[/mm] = 0 beachten...
Hallo,
ja, so mußt Du das machen.
> aber wie soll man denn die b.) angehen???
In U sind all die n-Tupel enthalten, welche die Gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] = 0 lösen, U ist der Lösungsraum dieser Gleichung.
Es ist eine Gleichung mit n Unbekannten.
Du kannst (n-1) Unbekannte frei wählen, die n-te ist dadurch dann festgelegt.
Wählst Du [mm] x_i:=t_i [/mm] mit [mm] t_i\in \IR [/mm] beliebig für i=1,...,n-1, so erhältst Du für die Lösungen [mm] \vektor{x_1 \\ ...\\x_{n-1}\\ x_n}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ ...\\x_{n-1}\\ x_n}=\vektor{t_1 \\ ...\\t_{n-1}\\ -t_1-...-t_{n-1}}
[/mm]
[mm] =t_1\vektor{1 \\ 0\\...\\0\\ -1}+t_2\vektor{0\\1 \\ 0\\...\\0\\ -1}+t_3\vektor{0\\0\\1 \\ 0\\...\\0\\ -1}+...+t_{n-1}\vektor{0\\...\\0\\ 1\\-1}
[/mm]
Der Lösungsraum der Gleichung wird also aufgespannt von ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 15.05.2007 | | Autor: | aineias |
> Der Lösungsraum der Gleichung wird also aufgespannt von
> ???
...von n-1 basen????
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> > Der Lösungsraum der Gleichung wird also aufgespannt von
> > ???
>
>
> ...von n-1 basen????
So'n Quatsch!
Er wird aufgespannt von n-1 Vektoren, die Du nur noch ablesen mußt...
Weil diese n-1 Vektoren linear unabhängig sind und U aufspannen (erzeugen) bilden sie eine Basis von U.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Di 15.05.2007 | | Autor: | aineias |
naja, auf grund deiner reakton hat sich wohl meine nächste frage erübrigt!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 19.05.2007 | | Autor: | solero |
hallo,
und zwar beschäftige ich mich gerade auch mit dieser aufgabe, alledings leutet mir nicht ein, wie du z.B. bei [mm] t_1(1,0,...,0,-1) [/mm] zuletzt auf die -1 kommst??
und wie wäre dann die anzahl der dimension???
wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
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Hallo,
wir machen das jetzt mal im [mm] \IR^4.
[/mm]
Sei [mm] U_4:=\{\vektor{x \\ y\\z\\t}\in \IR^4| x+y+z+t=0\}
[/mm]
Gesucht ist der Lösungsraum des LGS
x+y+z+t=0.
Falls Du mit lin. Gleichungssystemem und Matrizen vertraut bist:
Der Lösungsraum des GS
[mm] \pmat{ 1 & 1&1&1\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\}x=0
[/mm]
Du hast nur eine Gleichung. Daher kannst Du drei Variable frei wählen, die vierte liegt durch die Wahl der anderen dann fest.
Mit [mm] x=\lambda
[/mm]
[mm] y=\mu
[/mm]
[mm] z=\nu [/mm] für beliebige [mm] \lambda, \mu, \nu\in \IR
[/mm]
erhältst Du [mm] t=0-x-y-z=-\lambda-\mu-\nu
[/mm]
Also lautet Dein Lösungsvektor
[mm] \vektor{x \\ y\\z\\t}=\vektor{\lambda \\\mu\\\nu\\-\lambda-\mu-\nu} =\lambda\vektor{1 \\ 0\\0\\-1}+\mu\vektor{0 \\ 1\\0\\-1}+\nu\vektor{0 \\ 0\\1\\-1}
[/mm]
Der Lösungsraum wird also aufgespannt von den drei Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\-1},\vektor{0 \\ 1\\0\\-1},\vektor{0 \\ 0\\1\\-1}
[/mm]
.
Offensichtlich sind sie linear unabhängig, also eine Basis des Lösungsraumes.
Die Bestimmung der Dimension ist nun nicht mehr schwer.
Für den [mm] \IR^n [/mm] geht's genauso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Sa 19.05.2007 | | Autor: | solero |
> Der Lösungsraum des GS
> [mm]\pmat{ 1 & 1&1&1\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\}x=0[/mm]
ist denn diese matrix korrekt so??
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> > Der Lösungsraum des GS
> > [mm]\pmat{ 1 & 1&1&1\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\0 & 0&0&0\\}x=0[/mm]
>
> ist denn diese matrix korrekt so??
Aus meiner Sicht ja.
Das x meint natürlich einen Vektor aus dem [mm] \IR^4.
[/mm]
Wir hatten eine Gleichung mit 4 Variablen, die habe ich - um die gewohnte und beliebte quadratische Matrix zu bekommen - noch etwas aufgepuschelt:
x+y+z+t=0
0*x+0*y+0*z+0*t=0
0*x+0*y+0*z+0*t=0
0*x+0*y+0*z+0*t=0
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 19.05.2007 | | Autor: | solero |
ist dann die dimension n-1, ist das richtig??
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Hi solero,
> ist dann die dimension n-1, ist das richtig?? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
naturellement 
LG
schachuzipus
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