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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Di 18.10.2011 | | Autor: | qed |
| Aufgabe | | Sei [mm] A\inM_{mn}(\IR). [/mm] Zeigen sie, dass [mm] U=\{u\in\IR^m | \exists x\in\IR^n : Ax=u\} [/mm] ein Unterraum von [mm] \IR^m [/mm] ist. |
Hallo an alle,
ich komme bei diesem Problem nicht weiter:
Verwenden möchte ich das Unterraumkriterium:
(1) [mm] 0\in\IR^m [/mm] gilt, da A0=0 und somit liegt der Nullvektor aus [mm] \IR^m [/mm] in U.
Hier hörts dann auch schon auf.
(2) [mm] v_{1}, v_{2}\in [/mm] U [mm] \Rightarrow v_{1}+v_{2}\in [/mm] U
Ansatz:
[mm] Ax=v_{1}+v_{2} [/mm] ist lösbar. Dies wollte ich dadurch zeigen, dass sich der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix A' (aus A und dem Ergebnisvektor [mm] v_{1}+v_{2}) [/mm] nicht ändert wenn [mm] Ax=v_{1} [/mm] und [mm] Ax=v_{2} [/mm] lösbar sind (also das immer Rg(A)=Rg(A') gilt).
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig/sinnvoll?
Hat jemand einen Tip für mich wie ich das zeigen kann oder vieleicht einen anderen Ansatz.
(3) [mm] v\in [/mm] U und [mm] a\in\IR \Rightarrow av\in [/mm] U.
Noch keinen Ansatz bin aber am basteln.
Vorab vielen Dank.
Viele Grüße.
qed.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 18.10.2011 | | Autor: | qed |
Hallo Tobias,
vielen Dank für deine Hilfe.
(1) Richtig, ich meinte [mm]0\in U[/mm]
(2) Seien [mm]v_{1}[/mm],[mm]v_{2} \in U[/mm], d.h. es gibt [mm]x_{1}[/mm],[mm]x_{2}\in \IR^n[/mm] mit [mm]Ax_{1}=v_{1}[/mm] und [mm]Ax_{2}=v_{2}[/mm].
Sei nun [mm]x:=x_{1}+x_{2}[/mm]. Dann gilt [mm]x\in \IR^n[/mm] und [mm]x[/mm] ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems [mm]Ax=v_{1}+v_{2}[/mm]. Es folgt [mm]v_{1}+v_{2}\in U[/mm].
(3) Sei [mm]u\in U[/mm] und [mm]a\in \IR[/mm]. Dann gilt [mm]ax\in\IR^n[/mm] und es ist [mm]A(ax)=au[/mm]. Es folgt [mm]au\in U[/mm].
Nochmal danke.
Viele Grüße
qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 18.10.2011 | | Autor: | qed |
Hallo Tobias,
danke für den Hinweis. Das mach im auf jeden Fall.
Viele Grüße und noch einen schönen Abend.
qed
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
(Am Anfang meinst du wohl [mm] $0\in [/mm] U$ statt [mm] $0\in\IR^m$.)
[/mm]
